Focaleigenschaften quadratischer Mannigfaltigkeiten im vierdimensionalen Raume. (Q1511847)

Die Arbeit verfolgt im wesentlichen den Zweck, die Focaleigenschaften der Flächen zweiter Ordnung mit Mittelpunkt, speciell die Fadenconstructionen des Ellipsoids, wie sie in den einschlägigen Arbeiten von O. Staude behandelt worden sind, auf die quadratischen Mannigfaltigkeiten \((M_3^{(2)})\) im \(R_4\) zu übertragen. Es werden zunächst vier Typen confocaler \(M_3^{(2)}\) mit den auf ihnen liegenden Flächen 2. Ordnung aufgestellt. Die Zwischenformen dieser Typen (Ausartungen mit speciellen Parametern) führen auf die Focalflächen. Sodann wendet sich der Verf. zu der für die Focaleigenschaften der \(M_3^{(2)}\) fundamentalen Aufgabe: Einen Streckenzug \(PQRx\) im \(R_4\) mit der Eigenschaft maximaler oder minimaler Länge zu ziehen, wenn \(Q\) auf einem Ellipsoid, \(R\) auf der Focalellipse desselben liegt und \(x\) Brennpunkt dieser Ellipse ist. Das Problem wird zunächst algebraisch mit rechtwinkligen Coordinaten behandelt, so dann, um schwierige Eliminationen zu umgehen, mit elliptischen Coordinaten, nachdem vorher verschiedene Sätze über confocale Flächen im \(R_3\) verallgemeinert worden sind. Für die verallgemeinerten Focalstrahlen (und die Tangenten an drei \(M_3^{(2)}\) von verschiedenen Typen) werden dann direct Abel'sche Differentialgleichungen aufgestellt nebst einem linearen Ausdruck für ihr Linienelement. Gleichzeitig wird der Uebergang zu den Differentialgleichungen und dem Linienelement der geodätischen Linien auf den \(M_3^{(2)}\) gewonnen. Die aus geodätischen und Krümmungslinien bestehenden geschlossenen Linienzüge führen dann zu den Focaleigenschaften der Mittelpunktsflächen 2. Grades im \(R_3\). Zuletzt wird die Staude'sche Fadenconstruction einer \(M_2^{(2)}\) in analoger Weise für die \(M_3^{(2)}\) ausgeführt und eine Gleichung aufgestellt, welche die Focaleigenschaften der vier Typen \(M_3^{(2)}\) im \(R_4\) zasammenfasst. Auch die Ausdehnung des eingeschlagenen Verfahrens auf höhere Mannigfaltigkeiten ist ersichtlich.