Sur l'instabilité de certaines substitutions. (Q1512000)

Man betrachte die reellen Punkttransformationen in zwei Variabeln \[ \begin{cases} x_1 = x + \varphi(x,y) +\cdots,\quad y_1 = y + \psi(x,y) +\cdots,\\ \varphi = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2,\quad \psi = b_{11}x^2 + 2b_{12}xy + b_{22}y^2,\end{cases}\tag{1} \] bei welcher der Teil von der ersten Ordnung sich auf die Identität reducirt, die nicht hingesetzten Glieder von höherer Ordnung als 2 sind. Solche Substitutionen sind im allgemeinen instabil, d. h. durch Iterationen: \[ x_n = x_{n-1} + \varphi(x_{n-1},y_{n-1}) +\cdots,\quad y_n = y_{n-1} + \psi(x_{n-1},y_{n-1}) +\cdots\tag{2} \] kann man den abbildenden Punkt \(P_n\) (dessen Coordinaten \(x_n,\,y_n\) sind) aus einem festen Kreise \(C\) um den Ursprung \(O\) heraustreten lassen, vorausgesetzt, dass man die Anfangslage \(P\) (mit den Coordinaten \(x,\,y\)) in einem passenden Sector so nahe an \(O\) annimmt, wie man will. Dieser Satz dient zur Vorbereitung der Untersuchungen des Verf. über die Instabilität der periodischen Lösungen bei den Differentialgleichungen der Dynamik.