Les méthodes générales pour résoudre les problèmes fondamentaux de la physique mathématique. (Q1512094)

Im Anschluss an Poincaré's Untersuchungen über die Neumann'sche Methode und das Dirichlet'sche Princip (vergl. F. d. M. 27, 316, 1896, JFM 27.0316.01) stellt sich der Verf. zunächst die Aufgabe, durch eine Modification der Methode von Robin das Problem der Elektricitätsverteilung allgemein zu lösen, ohne sich auf die normale Ableitung des Potentials einer Doppelschicht zu stützen, und unabhängig von dem Dirichlet'schen Princip. Für convexe Flächen hatte der Verf. die Lösung bereits früher angegeben (F. d. M. 28, 764, 1897, JFM 28.0764.03). Hier dehnt er, wie schon in einer F. d. M. 30, 772, 1899 (siehe JFM 30.0772.01), besprochenen Note, die Lösung auf beliebige geschlossene Flächen \(S\) aus, die folgende Eigenschaften besitzen: 1. In jedem Punkte von \(S\) existirt eine bestimmte Tangentialebene. 2. Um jeden Punkt \(p_0\) von \(S\) kann man eine Kugel mit einem hinreichend kleinen, aber bestimmten Radius \(D\) beschreiben derart, dass eine Parallele zu der Flächennormale in \(p_0\) die Fläche innerhalb der Kugel nur einmal trifft. 3. Der Spitze Winkel \(\vartheta\), den zwei in den Punkten \(p_0\) und \(p\) von \(S\) errichtete Normalen bilden, genügt der Bedingung \(\vartheta < ar_0\), wo \(r_0\) den Abstand \(p_0p\) bezeichnet und \(a\) eine Zahl ist, die unabhängig ist von der Wahl der Punkte \(p\) und \(p_0\). Für eine solche Fläche wird in Kap. I das folgende Fundamentaltheorem abgeleitet: Ist \(V\) eine innerhalb und ausserhalb \(S\) harmonische Function, welche die Eigenschaft des Flächenpotentials besitzt und der Bedingung \[ \int \frac{\partial V_e}{\partial n} ds = 0 \] genügt (\(\frac{\partial V_e}{\partial n}\) bezeichnet die Ableitung nach der äusseren Normale), so hat das Verhältnis \[ \int\sum\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2d\tau : \int\sum\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2d\tau' \] eine endliche obere und eine von Null verschiedene untere Grenze. \(d\tau\) und \(d\tau'\) bezeichnen dabei die Volumenelemente des Innen- und des Aussenraumes von \(S\). Der Satz wird zunächst für eine Kugel bewiesen und dann auf \(S\) übertragen durch Anwendung der Poincaré'schen Transformation, durch welche die Fläche \(S\) in die Einheitskugel übergeführt wird und zugleich der Innenraum von \(S\) in den Innenraum, der Aussenraum von \(S\) in den Aussenraum jener Kugel. Das Fundamentaltheorem gilt also zunächst nur unter der Voraussetzung, dass die Fläche \(S\) die Poincaré'sche Transformation zulässt. Der Verf. spricht aber die Ueberzeugung aus, dass es allgemeinere Gültigkeit hat, und dass die Lösung aller Fundamentalprobleme der mathematischen Physik sich auf den vollständigen Beweis eben dieses Fundamentaltheorems zurückführen lässt. In Kap. II wird dann gezeigt, dass die Robin'sche Methode die Lösung des elektrostatischen Problems für alle Flächen \(S\) giebt, die den obigen Bedingungen 1-3 genügen, und für die zugleich das Fundamentaltheorem gilt. Die Hauptsätze, die hier entwickelt werden, sind die folgenden: \(S\) habe die erwähnten Eigenschaften, und \(\varrho_0\) sei eine auf \(S\) continuirliche Function, die der Bedingung \[ \int\varrho_0 ds = 0 \] genügt. Man setze \[ V_1 = -\frac1{2\pi} \int \varrho_0 \frac1r ds \] und bilde successive die Functionen \[ \overline{V}_2 = \frac1{2\pi}\int \overline{V}_1 \frac{\cos\varphi}{r^2} ds,\,\dots,\quad \overline{V}_k = \frac1{2\pi}\int \overline{V}_{k-1} \frac{\cos\varphi}{r^2} ds, \] wo \(r\) der Abstand des Elements \(ds\) von dem angezogenen Punkte \(P\) ist, \(\varphi\) der Winkel, den die innere Normale an der Stelle \(ds\) mit \(r\) bildet, und wo der Strich über \(V\) die Bedeutung hat, dass \(P\) auf \(S\) selbst liegt: dann ist \[ |\overline{V}_k| < C\cdot\tau^k, \] wo \(C\) eine endliche positive Constante ist, die nur von \(\varrho_0\) und der Fläche \(S\) abhängt, \(\tau\) eine positive Zahl kleiner als 1. Bildet man ferner die Integrale \[ \varrho_k = \frac1{2\pi}\int \varrho_{k-1} \frac{\cos\psi}{r^2} ds\qquad (k=1,2,3,\dots), \] wo \(\psi\) den Winkel bezeichnet, den die Normale in dem auf \(S\) liegenden Punkte \(P\) mit \(r\) bildet, und wo \(\varrho_0\) derselben Bedingung genügt wie vorher, so convergirt die Reihe \[ \varrho_0 + \varrho_1 +\cdots+ \varrho_k +\cdots \] absolut und gleichförmig auf der Fläche \(S\). Der Uebergang zu dem Falle, in dem \(\int\varrho_0 ds\) nicht verschwindet, wird dadurch bewerkstelligt, dass man \[ \varrho_k' = \varrho_k - \varrho_{k-1}\qquad (k = 2,3,\dots) \] setzt; dann wird \[ \varrho_k' = \frac1{2\pi}\int \varrho_{k-1}' \frac{\cos\psi}{r^2} ds\qquad (k=2,3,\dots) \] und \[ \int\varrho_1' ds = 0. \] Kap. III behandelt dann in analoger Weise das hydrostatische Problem, bei dem es sich darum handelt, im Innern eines Bereiches \(D\) eine harmonische Function zu finden, deren normale Ableitung an der Grenze \(S\) gleich einer gegebenen Function \(f\) ist. Für die Behandlung dieses Problems giebt es zwei Methoden, die von C. Neumann und die von Robin. Beide gelten unmittelbar nur für convexe Flächen. Hier wird nun gezeigt, dass beide auf alle Flächen \(S\) angewandt werden können, für welche die Resultate von Kap. II gelten, falls nur \(f\) auf \(S\) continuirlich ist. Kap. IV ist dem eigentlichen Dirichlet'schen Problem gewidmet. Auch hier ergiebt sich, dass die Neumann'sche Methode des arithmetischen Mittels für alle Flächen \(S\) gültig ist, welche die in Rede stehenden Eigenschaften besitzen, falls nur die Randwerte \(f\) auf \(S\) continuirlich sind. Endlich wird in Kap. V das Dirichlet'sche Problem für eine einfache und eine Doppelbelegung unter der Annahme durchgeführt, dass \(f\) nicht nur continuirlich ist, sondern noch der folgenden weiteren Bedingung genügt. In der Tangentialebene eines Punktes \(p_0\) von \(S\) seien \(r_0\) und \(\omega\) Polarcoordinaten, ferner \[ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} fd\omega = \overline f. \] Dann soll \[ \overline f - f_0 < br_0^{\beta-1} \] sein (\(f_0\) der Wert von \(f\) in \(p_0\)).