Problems relating to the impact of waves on a spherical obstacle in an elastic medium. (Q1512241)

Ganz ähnliche Untersuchungen, wie sie der Verf. betreffs der Störung von Luftwellen durch ein kugelförmiges Hindernis durchgeführt hatte (vergl. das vorhergehende Referat, siehe JFM 31.0782.01), stellt er hier für Wellen an, die sich in einem incompressiblen elastischen Medium fortpflanzen. Für die drei Componenten der Verrückungen gelten, wenn man ausser den elastischen Kräften noch einen Druck \(p\) einführt, die Gleichungen \[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\varDelta_2u + \frac1{\varrho}\frac{\partial p}{\partial x}, \] \[ .\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad. \] wobei \[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0\text{ und daher }\varDelta_2p = 0 \] ist. Zunächst wird die Bewegung betrachtet, die durch eine äussere Störung hervorgerufen und daher überall im Innern endlich ist. Für eine solche hat, auf Polarcoordinaten bezogen, \(p\) die Form: \[ p = -\mu k^2e^{ikct} \Sigma r^nS_n. \] Setzt man ferner \[ u = e^{ikct}\Sigma u_n,\quad v = e^{ikct}\Sigma v_n,\quad w = e^{ikct}\Sigma w_n, \] so enthalten die Ausdrücke für \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) neben der in \(p\) auftretenden Kugelfunction \(S_n\) noch zwei andere Kugelfunctionen \(T_n\), \(U_n\) derselben Ordnung, aber mit anderen Constanten, sowie Bessel'sche Functionen erster Art mit dem Argumente \(kr\) und dem Index \(\frac12(2n + 1)\). Für den Fall ebener Wellen wird \(S_n = 0\), und die in \(T_n\), \(U_n\) enthaltenen, im allgemeinen willkürlichen Constanten sind völlig bestimmt. Handelt es sich nicht um eine äussere Störung, sondern um Wellen, die sich nach aussen hin verbreiten, so hat \(p\) die Form \[ p = -\mu k^2e^{ikct} \Sigma \frac{S_n'}{r^{n+1}}, \] und falls man \[ u = e^{ikct}\Sigma u_n',\dots \] setzt, enthalten \(u_n'\), \(v_n'\), \(w_n'\) neben den Kugelfunctionen \(S_n'\), \(T_n'\), \(W_n'\) auch Bessel'sche Functionen zweiter Art. (Dass die in Rede stehenden Functionen Bessel'sche Functionen sind, erwähnt Verf. weder in dieser, noch in der vorhergehenden Arbeit.) Uebrigens vereinfachen sich die Ausdrücke für \(u_n'\) erheblich für grössere Werte von \(r\), und aus den vereinfachten Formeln ergiebt sich ein einfacher Ausdruck für die von den divergirenden Wellen fortgeführte Energie. Nach diesen allgemeinen Betrachtungen geht der Verf. zu speciellen Arten der Erzeugung solcher divergirenden Kugelwellen über, und zwar nimmt er zunächst an, dass dieselben durch Reflexion der einfallenden Wellen an der festen Kugel \(r = a\) entstehen. Für die Oberfläche der letzteren müssen dann die Gleichungen \[ \Sigma(u_n + u_n') = 0,\quad \Sigma(v_n + v_n') = 0,\quad \Sigma(w_n + w_n') = 0 \] erfüllt sein, und mittels dieser kann man die in der reflectirten Welle auftretenden Kugelfunctionen \(S_n'\), \(T_n'\), \(U_n'\) aus den in den einfallenden Wellen enthaltenen \(S_n\), \(T_n\), \(U_n\) berechnen. Bemerkenswert ist, dass, wenn die einfallenden Wellen ebene sind, die Amplitude der reflectirten Welle, die dem Gliede \(n = 1\) entspricht, viel grösser ist als in dem entsprechenden hydrodynamischen Problem. Nach der Reflexion an einer starren, festen Kugel wird in gleicher Weise die an einer starren, aber beweglichen Kugel behandelt, sowie die an einer starren Kugelschale, deren Inneres irgend einen schwingenden Mechanismus, etwa einen Kreisel enthält. Weiter wird an Stelle der starren Kugel \(r = a\) ein kugelförmiger Hohlraum in dem elastischen Medium angenommen und schliesslich eine elastische Kugel von anderer Dichtigkeit und Elasticität als das umgebende Medium. In allen Fällen wird unter gewissen einfachen Annahmen über die einfallende Schwingung das Verhältnis der in letzterer zugeführten und der in den divergirenden (reflectirten) Wellen fortgeführten Energie berechnet. Zum Schluss wird der Fall näher betrachtet, dass die bewegliche starre Kugel nahezu dieselbe Schwingungsdauer hat wie die einfallende ebene Welle. Hier steht die von der reflectirten Welle fortgeführte Energie zu der in der einfallenden Welle zugeführten in dem Verhältnis \[ J = \frac{2n+1}{2\pi}\lambda^2, \] wo \(\lambda\) die Wellenlänge bezeichnet, \(n\) die Ordnung der Kugelfunction. Dasselbe Resultat hatte sich auch bei dem analogen akustischen Problem (vergl. das vorhergehende Referat, siehe JFM 31.0782.01) ergeben.