The energy function of a continuous medium transmitting transverse waves. (Q1512269)

Der Aufsatz bildet eine Verallgemeinerung einer Untersuchung von Green (Mathemat. Papers p. 291), der ermittelt hatte, welche Form die Energiefunction \(\varphi\) eines homogenen elastischen Mediums, d. h. das auf die Volumeneinheit bezogene Potential der elastischen Kräfte, haben muss, wenn sich in dem Medium transversale Wellen nach den Fresnel'schen Gesetzen fortpflanzen sollen (vergl. auch eine Arbeit von Kirchhoff, über die F. d. M. 8, 647, 1876, JFM 08.0647.03, referirt ist). Während Green seinen Betrachtungen die allgemeinste homogene Function zweiter Ordnung der sechs Componenten der relativen Verschiebungen \[ \left[x_x = \frac{\partial u}{\partial x},\dots, y_z = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y},\dots\right] \] zu Grunde legte, geht Macdonald von einer homogenen Function von neun Veränderlichen aus, indem er zu den erwähnten sechs Verschiebungen noch die doppelten Rotationscomponenten \[ \omega_1 = \frac{\partial v}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial y},\dots \] hinzunimmt. Die daraus sich ergebenden Bewegungsgleichungen des Mediums werden auf ebene longitudinale Wellen angewandt, und es wird gefragt, unter welchen Bedingungen die Fortpflanzungsgeschwindigkeit derselben unabhängig von der der transversalen Wellen ist. Dazu ist erforderlich, dass \(\varphi\) gleich wird \(K(x_x + y_y + z_z)^2\), vermehrt um eine homogene Function zweiter Ordnung der Grössen \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), ferner um gewisse andere Glieder, die bei der Integration über das Volumen des Mediums sich auf Oberflächenintegrale reduciren. Von einem Medium aber, für das \(\varphi\) diese Form hat, ist bekannt, dass die sich in ihm fortpflanzenden transversalen Wellen den Fresnel'schen Gesetzen folgen.