Neuer Beweis des Hilbert'schen Satzes über homogene Functionen. (Q1513039)

Hilbert hat (F. d. M. 22, 133, 1890, JFM 22.0133.01) den grundlegenden Satz ausgesprochen und bewiesen, dass, wenn ein System von unbegrenzt vielen Formen \(F\) von \(n\) Veränderlichen \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) vorliegt, die \(F\) durch eine endliche Anzahl von ihnen linear darstellbar sind. Verf. giebt hierfür einen sehr einfachen Beweis. Von zwei Producten \(P_1=x_1^{h_1} x_2^{h_2}\dots x_n^{h_n}\), \(P_2=x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_n^{k_n}\) heisst \(P_1\) das ``einfachere'', wenn es einen Index \(\sigma\) giebt, für den \(h_1\leqq k_1\), \(h_2\leqq k_2\), ..., \(h_{\sigma-1}\leqq k_{\sigma-1}\), \(h_\sigma\leqq k_\sigma\) ist. Mittels dieses Anordnungsprincipes wird durch vollständige Induction der Hülfssatz bewiesen: ``Hat von gegebenen Producten \(P= x_1^{h_1} x_2^{h_2}\dots x_n^{h_n}\); \(P_\varrho= x_1^{h_{\varrho_1}} x_2^{h_{\varrho_2}}\dots x_n^{h_{\varrho_n}}\) \((\varrho=1,2,3,\dots)\) keines ein anderes zum Factor, so ist ihre Anzahl endlich.'' Jede Form \(F\) der \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) lässt sich in die Gestalt bringen: \(F=aP+\psi\), wo \(a\) eine von Null verschiedene Constante bedeutet, und die Producte in \(\psi\) einfacher sind, als das Anfangsglied \(P\). Durch Anwendung dieses Satzes auf die nach ihren Anfangsgliedern geordneten Formen \(F\) des vorgelegten Systems geht der Hilbert'sche Satz hervor.