Ueber orthogonale Invarianten der Curven dritter Ordnung. (Q1513065)

Ist \(f(x,y;a,b,c,\dots)=0\) die Gleichung einer algebraischen Curve \(C_n\), die vermöge einer allgemeinen orthogonalen Substitution: \(\xi=x\cos\omega+y\sin\omega+c_a1\), \(\eta=-x\sin\omega+y\cos\omega+c_2\) in \(f(\xi,\eta;\alpha,\beta,\gamma,\dots)=0\) übergehe so heisst jede Function \(F\) der Coefficienten \(a\), \(b\), \(c\), ..., die dabei ungeändert bleibt, eine ``orthogonale Invariante'' der Curve \(f=0\), die im besonderen, wenn \(\omega=0\), resp. \(c_1=c_2=0\), zur ``Verschiebungs''-, resp. ``Drehungsinvariante'' wird. Bei orthogonalen Invarianten tritt der Fall, dass sie selbst (nicht nur gleich Null gesetzt) eine geometrische Bedeutung haben, weit häufiger auf, als bei den allgemeinen Invarianten. Zunächst werden die gerade Linie und der Kegelschnitt behandelt, und die bekannten dahin gehörigen Sätze zusammengestellt. Für die \(C_3\) sind zunächst die allgemeinen Invarianten \(S\) und \(T\) auch orthogonale; die Werte von \(S\) und \(T\) zusammen bestimmen die Werte des zur \(C_3\) gehörigen Doppelverhältnisses. Die Coefficienten der Glieder höchster Dimensionen sind (wie stets) Verschiebungsinvarianten. Bezeichnet \(f^{(3)}\) das Aggregat der Glieder dritter Dimension von \(f\), so ist die Discriminante \(D\) von \(f^{(3)}\) eine orthogonale Invariante von f. Weitere orthogonale Invarianten, die nur von \(f^{(3)}\) abhängen, entstehen aus der Thatsache, dass die Winkel, welche die Asymptoten einschliessen, von einer Verschiebung und Drehung des Coordinatensystems unabhängig sein müssen; insbesondere ist der Inhalt des Asymptotendreiecks eine bestimmte orthogonale Invariante. Danach lässt sich \(f^{(3)}\) durch orthogonale Invarianten darstellen. Weiter werden orthogonale Seminvarianten aufgestellt, die sich bei einer orthogonalen Transformation um einen vom Drehungswinkel \(\omega\) abhängigen Factor ändern. In den orthogonalen Invarianten lassen sich die Coefficienten von \(f^{(3)}\) nur irrational darstellen, in den Seminvarianten dagegen rational linear. Weitere orthogonale Invarianten stehen zu den Kreispunkten in Beziehung, ferner zum Polarkegelschnittbüschel der unendlich fernen Geraden und dessen Centrum, zur ``Begleitgeraden'' der unendlich fernen Geraden u. a. m. Es ist einleuchtend, dass eine derartige Untersuchung für eine systematische Behandlung der Metrik der \(C_3\) von grundlegender Bedeutung sein wird.