Groups of order \(p^3q\). (Q1513102)

Die Aufzählung aller Gruppen der Ordnung \(p^3q\), wobei \(p\) und \(q\) verschiedene Primzahlen sind, hat sich im wesentlichen auf die bekannten Sylow'schen Sätze zu stützen. Für das vorliegende Problem leistet dabei die bereits geschehene Aufzählung aller Gruppen der Ordnung \(p^3\) wesentliche Hülfe. Die Litteratur für letztere Aufgabe findet man in der Encyklopädie 1, 225, wozu noch W. Burnside's Theory of groups of finite order, S. 87 (siehe JFM 28.0118.03), beizufügen ist. Die Gruppen der Ordnung \(p^3q\) lassen sich in vier Hauptunterabteilungen zerlegen: erstens diejenigen, welche invariante Untergruppen der Ordnung \(p^3\) und \(q\) enthalten; zweitens diejenigen, welche \(q\) Untergruppen der Ordnung \(p^3\) und eine invariante Untergruppe der Ordnung \(q\) besitzen; drittens diejenigen, welche eine invariante Untergruppe der Ordnung \(p^3\), aber mehr als eine Untergruppe der Ordnung \(q\) haben, und viertens diejenigen, welche keine invarianten Untergruppen der Ordnung \(p^3\) und \(q\) besitzen. Für die Möglichkeit des zweiten Falles ist \(q\equiv1\) (mod. \(p\)) notwendig; der vierte Fall kann nur für \(p=2\), \(q=3\), also für die Ordnung 24, eintreten. Bei der Aufzählung der Typen spielt der Fall \(p=2\) eine exceptionelle Rolle. Verf. giebt daher nach beendigter Discussion aller möglichen Typen für die Fälle \(8q\) und \(p^3q\), unter \(p\) eine von 2 verschiedene Primzahl verstanden, gesonderte Listen, wobei auch immer die Relationen zwischen den erzeugenden Operationen angegeben werden. Die im Falle \(8q\) gewonnenen Resultate stimmen, wie der Verf. angiebt, mit denen von Miller (Philos. Mag. 42, 195-200; F. d. M. 27, 100, 1896, JFM 27.0100.01) überein. Als beachtenswertes Resultat hebt Western noch hervor, dass, wenn zwischen \(p\) und \(q\) geeignete Zahlenrelationen bestehen, die Zahl der Gruppen der Ordnung \(p^3q\) mit \(p\) und \(q\) wächst; etwas Aehnliches zeigte sich schon bei den Gruppen der Ordnung \(p^3q\); hingegen ist es nicht bei den Gruppen der Ordnungen \(p\), \(p^2\), \(p^3\), \(p^4\), \(pq\) der Fall. Die Arbeit schliesst mit einer Tabelle, welche die Anzahl aller Gruppen der Ordnung \(p^3q\) angiebt, falls \(p^3q<400\) ist.