Symmetrische Functionen. (Q1513149)

Seit Waring hat man sich verschiedentlich bemüht, die Potenzsummen \(s\) von \(n\) Grössen \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) als Functionen \(s(a)\) der Coefficienten \(a\) der Gleichung \((x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)=0\) darzustellen. Verf. führt nicht nur diese Darstellungen im einzelnen weiter aus, sondern untersucht auch umgekehrt die Coefficienten \(a\) als Functionen \(\psi(s)\) der Potenzsummen. Diese Rechnungen lassen sich mit Vorteil zur Lösung der fundamentalen Aufgabe verwenden, eine Resolvente \((x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)=0\) zu berechnen, wenn die \(x_1\), \(x_2\), ... die Wurzeln einer oder mehrerer Gleichungen bedeuten. Der erforderliche Process zerlegt sich in zwei wesentlich verschiedene Teile: 1. die Potenzsumme \(S_g=x_1^g + x_2^g + \cdots + x_n^g\) zu berechnen, 2. die Functionen \(\psi(S)\) zu ermitteln. Auf diese Weise lassen sich unter anderen Bildungen die Resultante und die Discriminante von Gleichungen explicite, d.h. mit genauer Angabe der in ihnen auftretenden numerischen Coefficienten, darstellen, während die übliche Determinantendarstellung nur einen formalen Charakter besitzt.