Ueber die näherungsweise Bestimmung der Lösungen mehrerer Gleichungen. (Q1513256)

Ist \((\alpha_0,\beta_0)\) ein Näherungswert einer Lösung des Gleichungssystems \(f(x,y)=0\), \(g(x,y)=0\), und kann man einen Bereich angeben, in welchem sowohl dieser Näherungswert wie eine Lösung \((x',y')\) liegt und in dem die Functionaldeterminante \(\varDelta\) von \(f\), \(g\) ihr Vorzeichen nicht wechselt, so handelt es sich um Aufsuchung von Functionen \(F\), \(G\) derart, dass die nach einander zu bildenden Wertsysteme \[ \begin{alignedat}{2} \alpha_1 &= F(\alpha_0,\beta_0),&\quad \beta_1 &= G(\alpha_0,\beta_0),\\ \alpha_2 &= F(\alpha_1,\beta_1),&\quad \beta_2 &= G(\alpha_1,\beta_1)\text{ u. s. w.}\end{alignedat} \] der Stelle \((x',y')\) immer näher rücken und endlich mit ihr zusammenfallen. Die Untersuchung lehrt, dass es unendlich viele solcher Functionen \(FF\), \(G\) giebt, zu denen auch die Functionen \[ F(x,y) = x - \frac1{\varDelta}\begin{vmatrix} f&\frac{\partial f}{\partial y}\\ g&\frac{\partial g}{\partial y}\end{vmatrix},\qquad G(x,y) = y - \frac1{\varDelta}\begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}&f\\ \frac{\partial g}{\partial x}&g\end{vmatrix} \] gehören, welche die Verallgemeinerung der Newton'schen Methode darstellen, und die auch geometrischer Deutung fähig sind. Das algebraische Resultat lässt sich sofort auf \(n\) Gleichungen mit \(n\) Unbekannten ausdehnen.