Les invariants des formes binaires. (Q1513290)

Der Verf. hat, wie man weiss, die Endlichkeit des binären Formensystems bewiesen, und Hilbert den entsprechenden Satz für \(n\) Variabeln. Hier wird auf combinatorischem Wege ein umfassenderer Satz hergeleitet. Es kann sich im folgenden nur darum handeln, einige der dem Satze und dessen Beweise zu Grunde liegenden Begriffe anzuführen. Aus den Producten \(T=x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_n^{k_n}\) wird ein ``System \(S\)'' gebildet, indem man die Exponenten \(k\) gewissen Relationen \(\theta_1\), \(\theta_2\), ... unterwirft. So definirt die Bedingung \(k_1\equiv0\) (mod. 3) das System \(x_1^3\), \(x_1^6\), \(x_1^9\), ...; ferner die Bedingung \(k_1 + k_2 + k_3 + k_4\equiv0\) (mod. 3) das System \(x_1^3\), \(x_1^4x_2^2\), \(x_3^7x_4^2\), ...; endlich die Bedingungen \[ k_1 + k_2 + k_3 + k_4 \equiv0\quad (\text{mod.} 3), \] \[ k_1k_2 + k_1k_3 + k_1k_4 + k_2k_3 + k_2k_4 + k_3k_4 > 0 \] das System \(x_1^2x_2\), \(x_1x_2x_4^4\), \(x_1x_3^2x_4^3\), ... Lässt man von den Producten \(T\) eines Systems \(S\) diejenigen weg, die durch andere desselben Systems teilbar sind, so reducirt sich \(S\) auf ein ``Elementarsystem \(\Sigma\)'', das nur noch aus Producten \(P_1\), \(P_2\), ... besteht. So reducirt sich im ersten Beispiele \(S\) auf \(\Sigma=x_1^3\); im zweiten Beispiele \(S\) auf \(\Sigma=x_1^3\), \(x_1^2x_2\), \(x_1^2x_3\), \(x_1^2x_4\), \(x_1x_2^2\), \(x_1x_2x_3\), \(x_1x_2x_4\), \(x_1x_3^2\), \(x_1x_3x_4\), \(x_1x_4^2\), \(x_2^3\), \(x_2^2x_3\), \(x_2^2x_4\), \(x_2x_3^2\), \(x_2x_3x_4\), \(x_2x_4^2\), \(x_3^2\), \(x_3^2x_4\), \(x_3x_4^2\), \(x_4^3\), also auf die Terme einer quaternären kubischen Form in der üblichen Anordnung, von der gesagt wird, dass sie dem Grade der Einfachheit nach erfolge: \(x_4^3\) erscheint als der ``einfachste'' Term, \(x_1^3\) als der ``zusammengesetzteste''. Das System \(\Sigma\) des dritten Beispiels geht aus dem eben angeführten dadurch hervor, dass man die dritten Potenzen der einzelnen \(x\) streicht. Die Anzahl der Producte \(P\) in \(\Sigma\) wird ``Index'' von \(\Sigma\) genannt und mit \(h_n\) bezeichnet, bei mehreren Systemen \(\Sigma_1\), \(\Sigma_2\), \(\Sigma_3\), ... entsprechend mit \(h_{n,1}\), \(h_{n,2}\), \(h_{n,3}\), .... In den obigen drei Beispielen sind die Indices \(h_1=1\), \(h_4=20\), \(h_4=16\). Gehört das Product \(P_1=x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}\) dem Systeme \(\Sigma\) an, so kann man der Reihe nach die Partialsysteme bilden: \[ L_0 = P_1,\quad L_1 = x_1^gQ\,(g\leqq\lambda_1),\quad L_2 = x_2^{g-\lambda_1}Q\,(\lambda_1 < g\leqq\lambda_1 + \lambda_2)\text{ etc.} \] bis zu \(L_g\), deren Anzahl \(1 + \lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n = 1 + \varrho\) ist. So gehören zu dem zweiten der obigen drei Systeme \(\Sigma\) in Bezug auf \(P_1=x_1^3\) successive die Partialsysteme, deren Producte resp. den Factor \(x_1^3,x_1^2,x_1\) haben, während die des letzten Systems \(L_4\) \(x_1\) gar nicht enthalten. Gehört das Product \(P = x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}\) dem Systeme \(\Sigma\) an, und fällt \(P\) nicht zusammen mit \(P_1=x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}\), so ist wenigstens ein Exponent \(k_\sigma < \lambda_\sigma\), und \(P\) ist im System \(L_g\) enthalten, wo \[ k_\sigma = g - \lambda_1 - \lambda_2 -\cdots- \lambda_{\sigma-1}. \] In dem System \(L_g\), das notwendig von der Gestalt ist: \[ x_\sigma^rQ_1,\, x_\sigma^rQ_2,\, x_\sigma^rQ_3,\,\dots, \] bilden die Factoren \(Q_1,Q_2,Q_3,\dots\) im System \(\Sigma_g\), das nur noch \(n-1\) Variabeln aufweist: \(\Sigma_g\) ``correspondirt'' dem Systeme \(L_g\). Hieraus folgt als erster Endlichkeitssatz, dass die Indices der Elementarsysteme endliche Zahlen sind; denn \(h_1\leqq1\) ist endlich. 0 Die vorstehenden Betrachtungen werden nunmehr auf die Terme \(P = x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}\) einer homogenen Function \(f\) der \(x\) angewandt. Ist \(P_1\) der erste, also ``complicirteste'' Term, so setze man \(f=c_1P_1 + \chi\); dann sind die Terme von \(\chi\) einfacher als \(P_1\). Die homogenen Functionen \(f_1\), \(f_2\), ... werden in umgekehrter Weise angeordnet wie die Terme einer solchen. Die \(f_i\) werden ihrem Grade nach geordnet, mit den untersten Graden beginnend; Formen desselben Grades werden nach ihren ersten Termen geordnet, so dass die mit den einfachsten ersten Termen vorangehen. Sind die Coefficienten von Formen \(f_i\) an Relationen \(Q_1,Q_2,\dots\) gebunden, so bilden die entsprechenden \(f_i\) selbst ein System \(S\); ein solches System \(S\) heisst ``einfach'', wenn es die \(f_i\) sind. Aus einem solchen Systeme \(S\) von \(f_i\) lassen sich Systeme \(\eta\) von (homogenen) Formen ``ableiten'' von der Gestalt: \[ \eta_1 = f_1,\quad \eta_2 = A_{21}f_1 + f_2,\quad \eta_3 = A_{31}f_1 + A_{32}f_2 + f_3\text{ etc.} \] Diese abgeleiteten Systeme lassen sich einem Reductionsprocesse unterwerfen. So gelangt man schliesslich zu einem ``irreduciblen'' Systeme \(N=f_1,f_2,\dots\), dessen erste Terme ein System \(\Sigma\) bilden. Ist \(h\) der Index von \(\Sigma\), so enthält \(N\) gerade \(h\) Formen. Hieraus ergiebt sich unmittelbar der Hilbert'sche Satz, indem jede Form \(f\) als Aggregat der \(h\) Formen von \(N\) erscheint. Wendet man das Ergebnis auf die Invarianten \(i\) einer binären Form \(f\) an, so bilden dieselben ein Elementarsystem, dessen Relationen \(\Theta_1,\Theta_2,\dots\) durch die Differentialgleichungen der \(i\) geliefert werden, und irgend eine Invariante \(i\) von \(f\) erscheint in der Gestalt: \[ i = c_1i_1 + c_2i_2 +\cdots+ c_hi_h. \] Unterwirft man \(f\) einer linearen Substitution der Variabeln mit der Determinante \(\varDelta\), so hat man \[ \varDelta^\nu i = C_1\varDelta^{\nu_1}i_1 + C_2\varDelta^{\nu_2}i_2 +\cdots+ C_h\varDelta^{\nu_h}i_h, \] wo die \(C\) nunmehr Formen der transformirten Coefficienten von \(f\) sind. Auf diese \(C\) wird die ``Gordan'sche Reihenentwickelung'' angewandt, so erhält man \(\varDelta^\nu = B_1i_1 + B_2i_2 +\cdots+ B_hi_h\). Hieraus geht ohne weiteres die Darstellung von \(i\) als ganzer rationaler Function der \(i_1,i_2,\dots,i_h\) hervor. Man vergleiche noch den Auszug aus der vorliegenden Abhandlung, über den in F. d. M. 30, 113, 1899 (siehe JFM 30.0113.01) berichtet ist.