Theorie der Elementarteiler höherer Stufen. (Q1513314)

Der Verf. hat sich schon in einer früheren Abhandlung (F. d. M. 28, 113, 1897, JFM 28.0113.01) mit einem allgemeinen Aequivalenztheorem für die linearen \(\infty^\lambda\)-Scharen bilinearer Formen \(F_{1,1}\) mittels geometrischer Methoden beschäftigt. Jene neue Auffassung führte ihn inzwischen zu einer Verallgemeinerung der Sylvester-Weierstrass'schen Elementarteiler, indem er die von Kronecker und Hilbert eingeführten Divisorensysteme höherer Stufe heranzog. Die Theorie dieser neuen Elementarteiler wird hier auseinandergesetzt und zu einer algebraischen Formulirung und Begründung jenes Aequivalenztheorems benutzt. Die alten und die neuen Elementarteiler erscheinen als ein Corollar der Theorie der Singularitäten (singulären Punkte, Curven, Flächen etc.) auf den Mannigfaltigkeiten \(M_{\sigma-1}\) der Dimension \(\sigma-1\) im Raume \(R_\sigma\) von \(\sigma\) Dimensionen, wobei die vielfachen Untersuchungen anderer Autoren über dieses Gebiet zur Verwendung gelangen. Welchen Wert der Verf. dieser Auffassung beilegt, erhellt z. B. aus den Worten: ``Eminent algebraische Eigenschaften so spontan aus einfachsten geometrischen Theoremen herfolgen zu sehen, wie hier, ist wohl eine spärliche Erscheinung in der Mathematik''. Umgekehrt dienen dann diese neuen Elementarteiler als wesentliche Hülfsmittel zu einer erschöpfenden Behandlung der Theorie der Singularitäten. Eine weitere Verallgemeinerung der Elementarteiler besteht darin, dass sie auf allgemeine Functionensysteme als Substrat angewendet werden. Bei Weierstrass erscheinen die Elementarteiler als die wahren (irrationalen) Invarianten gegenüber linearen Substitutionen bei Determinanten. Der Verf. betrachtet die Determinante auf Grund ihres Multiplicationstheorems als eine specielle Form ``zusammensetzbarer'' Functionen im Gauss'schen Sinne und geht von da zu allgemeineren Functionsformen über. Die Determinante \(|A|=|a_{ik}|\) \((i,k = 1,2,\dots,n)\), eine zweifach alternirende Function von je \(n\) Elementenreihen, stellt im \(R_\sigma\) \((\sigma=n^2-1)\) eine Mannigfaltigkeit \(M_{\sigma-1}^n = S^{(2)}\) dar. Diese besitzt \(n-1\) stetig ausgedehnte singuläre Mannigfaltigkeiten \(V_2,\dots,V_{n-1}\) resp. 2, 3, ..., \((n-1)\)-fach. Die Verwandtschaft unter den Punkten des \(R_\sigma\) und ihren Polarmannigfaltigkeiten bez. \(S^{(2)}\) ist eine birationale. Diese Verwandtschaft wird durch die zu \(|A|\) gehörigen Laplace'schen Zerlegungssätze beherrscht. Ein weiteres Hülfsmittel der Untersuchung bietet sich dar, indem die \(a_{ik}\) als Functionen von \(\nu+1\) homogenen Parametern betrachtet werden und so zu einer \(\nu\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(F_\nu\) der \(R_\sigma\) führen. Diese dient zum Studium der Singularitäten der Minoren von \(|A|\). Die Theorie der Kronecker'schen Divisorensysteme wird in einen Zusammenhang gebracht mit dem Projiciren höherer Räume in niedrigere. Weiterhin wird mit dem Begriff des ``vollständigen Moduls'' operirt; ein solcher ist durch die gemeinsamen Wertesysteme bestimmt. Hat man also irgend eine Configuration von geometrischen Gebilden, jedes mit einer bestimmten Vielfachheit, --- einen ``Singularitäten-Complex'' ---, so bilden alle Functionen, die in der Configuration mindestens jenen Singularitäten-Complex besitzen, einen vollständigen Modul. So bilden alle Minoren von \(|A|\) einen vollständigen Modul. Es wird besonders hingewiesen auf die Analogie zwischen der Theorie der vollständigen Moduln und dem ``Bedingungscalcül'' der abzählenden Geometrie; alle Grundgebilde, die eine räumliche Bedingung in dieser Geometrie erfüllen, lassen sich durch einen vollständigen Modul vertreten; Product und Summe zweier Bedingungen stimmen mit der Bildung des Productes und der Summe zweier Moduln überein u. s. f. Sodann werden die höheren Elementarteiler eingeführt, entsprechend den Divisorensystemen, die vollständige Moduln sind. Auch dieser Begriff lässt wieder eine Erweiterung zu, indem Modulsysteme mit mehreren Variabelnreihen zugelassen werden (``mehr-lineare Modulsysteme''). Eine andere Erweiterung bietet sich dar, wenn man nach dem Vorgang von Smith statt einer Determinante eine rechteckige Matrix \((m,n)\) zu Grunde legt, wiederum mit der Erweiterung, dass die Elemente der Matrix Functionen von \(\nu+1\) Parametern sind. Durch Untersuchungen der Ordnungen der Contacte gewisser Mannigfaltigkeiten ergiebt sich das Theorem: ``Die Elementarteiler der Matrix \((m,n)\) sind Vielfache der entsprechenden Elementarteiler jeder Matrix \((m_1,n_1)\), in welcher die erstere enthalten ist.'' Das Studium der Elementarteiler führt zu einem Satze, der als Verallgemeinerung der Bézout-Kronecker'schen Darstellung der Resultante mehrerer Functionen durch die letzteren erscheint: ``Die Gleichung \(A_1X_1 +\cdots+ A_rX_r=A\), wo die \(A_i\) gegebene Functionen von \(\nu-1\) Variabeln \(x\) sind, kann stets dann und nur dann durch ganze rationale Functionen \(X_i\) der \(x\) befriedigt werden, wenn \(A\) jedes Divisorensystem enthält, das allen Coefficienten \(A_i\) gemeinsam ist''. Der Nutzen der neuen Elementarteiler zeigt sich u. a. in ihrer Verwendung zur Zerlegung ganzer rationaler, resp. transcendenter Functionen in Factoren. Unter den Matrices und deren Submatrices spielen eine besondere Rolle die sogenannten ``regulären''; von einer solchen ausgehend, kann man eine lückenlose Reihe regulärer Submatrices herstellen, von denen jede in der vorangehenden enthalten ist. Ein Fundamentalsatz über Producte \(AB\) von zwei Matrices \(A\), \(B\) ist von Smith, Frobenius, Hensel für den Fall aufgestellt worden, dass die Elemente ganzzahlig oder Functionen eines Parameters sind. Der Verf. erbringt die Verallgemeinerung auf beliebige analytische Functionen mehrerer Parameter. Als grundlegend erweist sich hierbei der Umstand, dass der aus den Determinanten von \(|AB|\) gebildete Modul das Product der Moduln ist, die aus den Determinanten von \(A\), \(B\) gebildet werden. Des weiteren wird mit Frobenius die Auffassung betont, dass gleichzeitig mit den Determinanten \(|A|\) auch die Matrices \((a_{ik})\) und die bilinearen Formen \(A = \sum a_{ik}x_iy_k\) durch den nämlichen Punkt \(P\) des \(R_\sigma\) abgebildet werden; endlich vertritt \(P\) aber auch die \(S\) mit den Coefficienten \(a_{ik}\), wenn diese Transformationen an sich betrachtet werden. Der Fundamentalsatz, dass mit \(AB=C\) auch \(|A||B|=|C|\) ist, sagt aus, dass die entsprechenden Transformationen im \(R_\sigma\) die \(S^{(2)}\) in sich überführen, auf der sie zwei lineare Scharen bilden; diese Scharen sind für \(S^{(2)}\) (nicht aber für \(V_2\), \(V_3\), ...) transitiv. Jede \(S\), die \(V_i\) ungeändert lässt, lässt auch \(S^{(2)}\) ungeändert. Auf diesen Grundlagen erhebt sich das eingangs erwähnte allgemeinere Aequivalenztheorem für zwei bilineare Formen \(A\), \(A'\): Sind die Coefficienten von \(A\), \(A'\) homogene lineare Formen der Parameter \(x_1,x_2,\dots,x_{\nu+1}\) resp. \(x_1',x_2',\dots,x_{\nu+1}'\), wo die \(x'\) von den \(x\) linear abhängen, so werden mit Hülfe der höheren Elementarteiler die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Aequivalenz von \(A\) und \(A'\) formulirt. Dieses Theorem lässt sich dann wiederum nach verschiedenen Richtungen hin, n. a. auf rechteckige Matrices, ausdehnen. Von Interesse ist dabei eine gewisse Analogie mit der Idealtheorie. Als ein schönes Beispiel zu dem allgemeinen Satze erscheinen die Aequivalenzbedingungen für zwei trilineare Formen; die betreffenden Substitutionen der dreierlei Variabeln können unabhängig von einander sein. Die drei bereits von Weierstrass eingeführten Covarianten einer trilinearen Form sind auf einander eindeutig bezogen, haben also gleiche Geschlechtszahlen und gleiche Moduln, überdies auch gleiche Elementarzahlen (Elementarteilerexponenten). Hervorzuheben ist auch ein grundlegender Satz über die Elementarteiler von \(|A+B|\), verglichen mit denen von \(|A|\), \(|B|\), \(|AB|\). Die symmetrischen und alternirenden Formen werden einer besonderen Untersuchung unterworfen, wobei die Fälle cogredienter und contragredienter Aequivalenz getrennt werden. Ferner bringt der Verf. einen bemerkenswerten Zusatz zu einem bekannten Fundamentalsatze über die Jacobi'sche Determinante \(J\). Bekanntlich geht die letztere bei beliebigen Punkttransformationen in ein Vielfaches ihrer selbst über; diese Eigenschaft relativer Invarianz kommt aber auch den ``zugehörigen'' Elementarteilern zu. In der gewöhnlichen (projectiven) Invariantentheorie ist also nicht nur \(J\) eine Covariante, sondern auch die Elementarteiler; damit ergeben sich also auch Bedingungen für die Aequivalenz zweier Systeme simultaner Formen, die mit den bekannten, insbesondere von Christoffel aufgestellten Bedingungen näher zu vergleichen wären. Das soeben angeführte Theorem lässt sich überhaupt da anwenden, wo sich eine Covariante in Determinantenform schreiben lässt, weiterhin aber auch auf die Lie'schen Transformationsgruppen überhaupt. Nunmehr schreitet der Verf. zu einer Untersuchung seiner Elementarteiler höherer Stufe in einem algebraischen Functionenkörper (Gattungsbereiche). Er betont hierbei den Vorzug jener Elementarteiler vor denen von Hensel. Der Weber'sche Begriff des Functionals wird auf algebraische, jedoch nicht ganzzahlige Functionenkörper übertragen. Die weitgehendste Verallgemeinerung der Elementarteiler vollzieht sich, indem an Stelle der Determinante eine beliebige Function \(S(x_1,\dots,x_m)\) zu Grunde gelegt wird. Wir beschränken uns hier auf Folgendes: \(S\) heisst vom \(l\)-ten Range, wenn für ein bestimmtes Wertsystem \(x_1,\dots,x_i\) alle Ableitungen nach ihnen bis zu den \((l-1)\)-ten für die übrigen Variabeln identisch verschwinden, und wenn überdies die \(x_1,\dots,x_i\) selbst wieder beliebige Functionen von \(\nu+1\) Parametern \(\lambda\) sind. Durch die Function \(S\) lässt sich ein zugehöriges Divisorensystem mit Hülfe jener Elementarteiler in Factoren zerlegen. Daran schliesst sich ein ganz allgemeiner Productensatz für zusammensetzbare Functionen, die Untersuchung hervorragender Covarianten (Discriminante, Tacinvariante, Resultante) als Functionen \(S\), sowie endlich ein Aequivalenztheorem für nicht lineare Scharen bilinearer Formen. Der Ref. ist sich wohl bewusst, dass er in Obigem nur eine sehr unvollkommene Wiedergabe von dem reichen Gedankeninhalt der Abhandlung geliefert hat; er darf aber auch hinzufügen, dass die eigenartige Darstellung des Verf. das Verständnis ungemein erschwert.