Sulle varietà cubiche la cui hessiana svanisce identicamente. (Q1513317)

Gordan und Noether (F. d. M. 8, 64, 1876, JFM 08.0064.05) haben die algebraischen Mannigfaltigkeiten untersucht, deren Hesse'sche Covariante \(H\) identisch verschwindet. Der Verf. führt die Frage für die kubischen Mannigfaltigkeiten \(f\) des Raumes \(S_n\) von \(n\) Dimensionen im einzelnen weiter aus, indem er sich auf geometrische Methoden Segre's (F. d. M. 16, 604, 1884, vgl. JFM 16.0604.01 und JFM 16.0604.02) stützt. Insbesondere werden im Raume von 4, 5 und 6 Dimensionen alle möglichen Typen der fraglichen Mannigfaltigkeiten bestimmt. Wenn \(H\) mit allen Subdeterminanten bis zur Ordnung \(n-p+1\) incl. identisch verschwindet, so reduciren sich einerseits die quadratischen Polarflächen \(S_{n-1}\) von \(f\) auf gewisse Kegel; andererseits bestehen zwischen den ersten Ableitungen von \(f\) \(p+1\) algebraische Relationen, d. h. die Polarebenen \(S_{n-1}\) von \(f\) bilden ein algebraisches System der Dimension \(n-p-1\). Sie umhüllen des näheren eine gewisse Mannigfaltigkeit \(\Gamma\) von Räumen \(S_p\), die für die Polarkegel eine ausgezeichnete Rolle spielen. Diese Mannigfaltigkeit \(\Gamma\) von \(S_p\) bildet den Kern der Untersuchung; sie ist durch lineare Systeme von Ebenen \(S_{n-1}\) projectiv erzeugbar. Ist \(\mu\) die Dimension von \(\Gamma\), so lässt sich den \(S_p\) ein gewisses System von \(S_{n-\mu}\) eindeutig zuordnen, von denen durch jeden Raumpunkt nur eine hindurchgeht. Die Mannigfaltigkeit \(\Gamma\) gehört \(f\) selbst doppelt zählend an. Es giebt dann weiter eine Mannigfaltigkeit \(S_{p+1}\), deren Projection von irgend einem Punkte eine \(S_p\) von \(\Gamma\) ist. Die Punkte von \(S_{p+1}\) besitzen in Bezug auf \(f\) dieselbe Polarebene \(S_{n-1}\). Aus diesem Satz lassen sich Folgerungen ziehen, welche die gestellte Aufgabe erledigen. Im Raume \(S_4\) von 4 Dimensionen sind die einzigen \(f\), abgesehen von Kegeln, die mit einer Doppelebene \(S_1\) behafteten. Im Raume \(S_5\) und \(S_6\) giebt es einen analogen Typus, im letzteren kommt noch als ein zweiter Typus die \(f\) mit einem Doppelraume \(S_3\) hinzu.