Ueber die Charaktere der symmetrischen Gruppe. (Q1513321)

Zur Berechnung der \(k\) Charaktere der symmetrischen Gruppe \(\mathfrak H\) von \(n\) Symbolen verwendet Verf. \(k\) gewisse Untergruppen von \(\mathfrak H\); mit Hülfe derselben bestimmt er zunächst zusammengesetzte Charaktere von \(\mathfrak H\), d. h. lineare Verbindungen der Charaktere von \(\mathfrak H\) mit ganzzahligen Coefficienten. (Ueber die vom Verf. eingeführten Charaktere einer Gruppe vergl. F. d. M. 27, 93, 1896, JFM 27.0092.01; 29, 102, 1898, JFM 29.0102.01). In der Entwickelung der symmetrischen Function \(n\)-ten Grades \[ (x_1 + x_2 +\cdots+ x_m)^\alpha (x_1^2 + x_2^2 +\cdots+ x_m^2)^\beta (x_1^3 + x_2^3 +\cdots+ x_m^3)^\gamma\dots \] nach Potenzen der Variabeln ist jeder Coefficient ein zusammengesetzter Charakter von \(\mathfrak H\); dabei sind \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), ... positive ganze Zahlen, die auch Null sein können und der Gleichung \(n=\alpha+2\beta+3\gamma+\cdots\) genügen; \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_m\) sind unabhängige Variabeln, deren geringste Anzahl in gewisser Weise von dem \(n\) abhängt. Von der symmetrischen Function geht Frobenius zu der alternirenden Function: \[ (x_1 + x_2 +\cdots+ x_n)^\alpha (x_1^2 + x_2^2 +\cdots+ x_n^2)^\beta (x_1^3 + x_2^3 +\cdots+ x_n^3)^\gamma\dots\varDelta \] über, wobei \(\varDelta\) das Differenzenproduct \((x_2-x_1)(x_3-x_2)\dots(x_n-x_{n-1})\) vom Grade \(\frac12n(n-1)\) bedeutet; diese Function liefert bei ihrer Entwickelung nach Potenzen von \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) die Werte der \(k\) Charaktere von \(\mathfrak H\). Zu der Bestimmung der Charaktere von \(\mathfrak H\) werden noch die zwischen den Charakteren von \(\mathfrak H\) bestehenden bilinearen Relationen verwandt. Ist \(\mathfrak G\) die alternirende Gruppe und \(T\) irgend eine ungerade Permutation, so ist \(\mathfrak H=\mathfrak G+\mathfrak G T\); die Factorgruppe \(\mathfrak H/\mathfrak G\) hat zwei Charaktere 1, 1 und 1, \(-1\). Daher hat \(\mathfrak H\) einen Charakter \((-1)^{n-s}\), der für die geraden Permutationen aus \(\mathfrak G\) die Zahl \(+1\), für die ungeraden Permutationen, die in \(\mathfrak G T\) enthalten sind, \(-1\) ist. Multiplicirt man einen Charakter \(\chi^{(k)}\) mit diesem Charakter ersten Grades, so ergiebt sich stets wieder ein Charakter \(\chi^{(k)}\). Zwei Charaktere, für die \[ \chi^{(\lambda)} = \chi^{(k)}\chi^{(1)},\qquad \chi^{(k)} = \chi^{(\lambda)}\chi^{(1)} \] ist, werden als associirt bezeichnet; zwei associirte Charaktere sind von einander verschieden. Eine Ausnahme bildet nur der Fall, dass für jede ungerade Permutation \(R\) \(\chi^{(k)}(R)=0\) wird; ein derartiger Charakter ist sich selbst associirt. Die associirten Charaktere werden näher untersucht; hierbei wird auch die Charakteristik eines Charakters, die im \S\ 4 eingeführt wurde, verwandt. Zum Schluss werden einige Specialfälle hervorgehoben, in denen sich gewisse Werte von Charakteren einfach bestimmen, weil die Cyklen, aus denen die Permutationen ``der Klasse conjugirter Elemente'', deren Charakter gesucht wird, in besonderer Weise gebildet sind. Man beachte dabei, dass zwei conjugirte Permutationen stets gleich viele Cyklen derselben Ordnung besitzen.