Zur Theorie der algebraischen Gruppen der Geraden und der Ebene. (Q1513369)

Im ersten Teile der Arbeit bestimmt der Verf. alle algebraischen Gruppen auf der Geraden. Er zeigt, dass jede Gruppe dieser Art mit mehr als einem Parameter durch algebraische Transformation eine der beiden Lie'schen Normalformen \(p\), \(xp\) und \(p\), \(xp\), \(x^2p\) erhalten kann, bestimmt dann auf einem neuen Wege die Typen von algebraischen eingliedrigen Gruppen, die im Grunde schon Weierstrass ermittelt hat, und findet die drei Typen: \[ p;\, xp;\, \sqrt{x(1-x)(1-cx)}\cdot p\qquad (c\neq0,1). \] Hieran schliesst sich eine interessante Untersuchung über die Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung: \(X^n\xi=1\), wo \(Xf=\xi(x)\frac{df}{dx}\) und \(XX^mf=X^{m+1}f\) gesetzt ist. Der Verf. zeigt, dass diese Differentialgleichung lauter algebraische Integralcurven vom Geschlechte Null besitzt, und dass man ihre allgemeine Lösung in sehr einfacher Weise finden kann, indem man \(x\) und \(\xi\) als ganze rationale Function einer unabhängigen Veränderlichen darstellt. Die directe Integration der Gleichung führt auf pseudoabelsche Integrale, was der Verf. im Falle \(n=3\) ausführlich entwickelt. Der zweite Teil der Arbeit behandelt die algebraischen Gruppen der Ebene. Der Verf. beschränkt sich auf den Fall, dass die Gruppe gar keine oder nur eine oder zwei gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung invariant lässt, und zeigt, dass jede algebraische Gruppe dieser Art durch eine algebraische Transformation auf eine der von Lie angegebenen Normalformen gebracht werden kann, wobei selbstverständlich die Lie'schen Normalformen, die keine algebraischen Gruppen liefern, auszuschliessen sind. Nur einen Fall hat der Verf. noch nicht erledigt, die Bestimmung aller algebraischen Gruppen, die mit der Gruppe: \[ p,\,2xp + yq,\, x^2p + xyq \] ähnlich sind; hier bleibt noch die Möglichkeit offen, dass die \(p\) entsprechende infinitesimale Transformation der Gruppe transcendente Bahncurven besitzt. Auf diesen Punkt will der Verf. später zurückkommen.