Ueber die Mac-Mahon'sche Verallgemeinerung der Newton-Girard'schen Formeln. (Q1513391)

Mac-Mahon (F. d. M. 16, 129, 1884, JFM 16.0129.01) hat die Formel aufgestellt, und mit Hilfe von Differentialoperatoren bewiesen: \[ S_{m+r}^m - f_1 S_{m+r-1}^m + f_2 S_{m+r-2}^m -\cdots+ (-1)^rf_rS_m^m = (-1)^r\frac{(r+m)!}{r!m!}f_{m+r}.\tag{I} \] Hier bedeutet \(S_k^i\) die symmetrische Function \(k\)-ter Dimension von \(x_1,x_2,\dots,x_n\), wo in jedem Gliede \(i\) verschiedene der \(x\) vorkommen, so dass \(S_i^i=f_i\) die elementaren symmetrischen Functionen der \(x\) bedeuten, \(S_k^1\) deren \(k\)-te Potenzsummen. Die bekannten Newton-Girard'schen Formeln gehen für \(m=1\) aus (I) hervor und werden am einfachsten durch Vergleichung der Potenzen von \(x\) aus der Identität: \[ f'(x) = \sum_{\lambda=1}^n \frac{f(x)}{x-x_\lambda},\quad f(x) = (x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)\tag{II} \] erhalten. Der Verf. differentiirt diese Identität ein-, zwei-, ..., \((m-1)\)-mal und erhält so eine zu (II) analoge doppelte Darstellung der zweiten, dritten, ..., \(m\)-ten Ableitung von \(f(x)\). Entwickelt man die rechten Seiten nach Potenzen von \(x\) und vergleicht wiederum, so zeigt sich, dass die Formeln (I) für ein bestimmtes \(m\) gelten (bei beliebigen \(r\) und \(n\geqq m+r\)), wenn sie für alle kleineren \(m\) richtig sind. Da letzteres aber für \(m=1\) der Fall ist, so sind die Formeln (I) auf dem angegebenen elementaren Wege vollständig bewiesen.