On the number theoretical function \(\varphi(n)\) and its connection with Goldbach's theorem. (Q1513442)

Es bezeichne \(G_n\) die Anzahl der Darstellungen der Zahl \(n\) als Summe von zwei Primzahlen. Der (unbewiesene) Goldbach'sche Satz besteht darin, dass für alle geraden \(n\) \(G_n\geq1\) ist. Mit Hülfe der neueren Untersuchungen über die Verteilung der Primzahlen lässt sich nun der Nachweis führen, dass die summatorische Function \(\sum\limits_{n=1}^x G_n\) asymptotisch gleich \(\frac{x^2}{2\log^2x}\) ist. Dies gestattet eine Prüfung der von Stäckel (vergl. F. d. M. 27, 136-137, 1896, JFM 27.0136.03) für \(G_n\) aus Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen hergeleiteten Näherungsformel \(\mathfrak G_n\). Es ergiebt sich, dass \(\sum\limits_{n=1}^x \mathfrak G_n\) die richtige Grössenordnung \(\frac{x^2}{\log^2x}\) hat, und dass der Quotient durch \(\frac{x^2}{\log^2x}\) sich auch einer Grenze nähert, allerdings nicht dem wahren Werte \(\frac12\), sondern dem etwas zu grossen Werte \(\frac{105\zeta(3)}{2\pi^4}= 0,648\dots\). Die Untersuchung stützt sich auf die Betrachtung der (divergenten) Reihe \(\sum \frac1{\varphi(n)}\). Hierbei ergiebt sich \[ \sum_{n=1}^x \frac1{\varphi(n)} = \frac{315\zeta(3)}{2\pi^4}\log x + \frac{315\zeta(3)}{2\pi^4}\left(C - \sum_{p=2,3,5,\dots}^\infty \frac{\log p}{p^2-p+1}\right) + O\left(\frac{\log x}x\right), \] wo \(C\) Euler'sche Constante bezeichnet und \(p\) alle Primzahlen durchläuft.