On a theorem of Mr. MacMahon. (Q1513472)

MacMahon hat (vergl. F. d. M. 24, 181, 1892, JFM 24.0181.01) bewiesen, dass die über alle Teiler \(d\) von \(n\) ausgedehnte Summe \(\sum\limits_d \varphi(d)r^{\frac nd}\) für jedes Zahlenpaar \(r,\,n\) durch \(n\) teilbar ist. Verf. beweist allgemeiner: Ist die Function \(F(x)\) so beschaffen, dass die über alle Teiler \(d\) einer ganzen Zahl \(n\) ausgedehnte Summe \(\sum\limits_d F(d)\) durch \(n\) teilbar ist, so ist \(\sum\limits_d F(d)r^{\frac nd}\) für jedes Zahlenpaar \(r,\,n\) durch \(n\) teilbar. Der Beweis wird auf den Nachweis des Specialfalles \(F(x)=\mu(x)\) zurückgeführt. Dieser Satz, dass \(\sum\limits_d \mu(d)r^{\frac nd}\) durch \(n\) teilbar ist, ist oft entdeckt worden. Den vom Verf. citirten Autoren Kantor, Picquet, Kœnigs, Lucas, Weyr, Dickson ist noch als erster, der den Satz ausgesprochen hat, Serret (Nouv. Ann. 1855, 261), ferner Pellet (vergl. F. d. M. 15, 142, 1883, JFM 15.0142.06) und Cordone (vergl. F. d. M. 26, 212, 1895, JFM 26.0212.02) hinzuzufügen.