On Eisenstein's proof of the quadratic reciprocity law. (Q1513476)

Eisenstein stellte, vom Gauss'schen Lemma ausgehend, das Legendre'sche Symbol \(\left(\frac qp\right)\), wo \(p\) und \(q\) Primzahlen sind, durch die Formel \[ \left(\frac qp\right) = \Pi\left(4\sin^2\frac{2b\pi}q - 4\sin^2\frac{2a\pi}p\right) \left(\begin{aligned} a &= 1,2,\dots,\frac{p-1}2\\ b &= 1,2,\dots,\frac{q-1}2\end{aligned}\right) \] dar, aus welcher das Reciprocitätsgesetz unmittelbar abgelesen werden kann. Eine solche Darstellung als Resultante zweier ganzen ganzzahligen Functionen einer Variable wird vom Verf. ohne Entfernung aus dem Gebiete der ganzen ganzzahligen Functionen unbestimmter Grössen abgeleitet, also auch ohne Benutzung des Gauss'schen Lemmas. Bezeichnet man die Resultante von \[ \begin{aligned} g(x) &= a_0x^\mu + a_1x^{mu-1} +\cdots+ a_\mu,\\ h(x) &= b_0x^\nu + b_1x^{\nu-1} +\cdots+ b_\nu\end{aligned} \] mit \(R(g,h)\), definirt \(f_n(u,v)\) für ungerade \(n\) durch die Gleichung \[ x_1^n + x_2^n =(x_1 + x_2)f_n((x_1 + x_2)^2,x_1x_2) \] \(\left(\frac{x_1^n+x_2^n}{x_1+x_2}\right.\) ist ja eine ganze symmetrische Function von \(x_1\), \(x_2\), also eine ganze rationale Function von \(x_1+x_2\) und \(x_1x_2\), wo \(x_1+x_2\) offenbar nur in gerader Potenz auftreten kann) und setzt \[ f_n(x,1) = f_n(x), \] so ergiebt sich für zwei positive ungerade Zahlen \(m\), \(n\) \[ \fracwithdelims()mn = R(f_m,f_n). \] Da nun \[ R(f_n, f_m) = (-1)^{\frac{m-1}2\cdot \frac{n-1}2} R(f_m,f_n) \] ist, so ist in jener Identität das Reciprocitätsgesetz enthalten.