Note on a theorem of Mr. Lerch. (Q1513494)

Lerch hatte (vergl. F. d. M. 29, 175, 1898, JFM 29.0175.03) bei einer transcendenten Untersuchung als Nebenresultat den Satz gefunden, dass für jede quadratfreie ungerade ganze Zahl \(m\) \[ \sum_{\alpha=1}^{m-1} \left(\frac{\alpha}m\right)\left(\frac{\alpha+1}{m^2}\right) = (-1)^{\frac{m-1}2}\mu(m) \] ist, wo \(\mu(m)\) die Möbius'sche Function (J. für Math. 9, 1832) ist. Verf. beweist, einer Andeutung von Gegenbauer folgend, diese Relation auf directem Wege und ermittelt allgemeiner den Wert von \[ s(m) = \sum_{\alpha=1}^{m-1} \left(\frac{\alpha}m\right)\left(\frac{\alpha-\sigma}m\right)^2, \] wo meine beliebige positive ungerade Zahl, \(\prod\limits_{\varrho=1}^\lambda p_\varrho^{\alpha_\varrho}\) und \(\sigma\) zu \(m\) teilerfremd ist. Es ergiebt sich \[ s(m) = \frac m{p_1\dots p_\lambda} \lambda(m) \left(\frac{\sigma}m\right) \prod_{\varrho=1}^\lambda (p_\varrho - 2)^{\frac12(\lambda(p_\varrho^{\alpha_\varrho})+1)}, \] wo \(\lambda(m)\) die Liouville'sche Function (Journ. de Math. (2) 2, 246, 1857) ist.