Asymptotic evaluation of certain totient sums. (Q1513496)

Die zahlentheoretische Function \(\varphi(x)\) wird bekanntlich von Sylvester totient genannt. Im ersten Kapitel glaubt Verf. durch Einführung des ``\(m\)-fold totient'' \(\varphi_m(x)\) (Anzahl aller Systeme von \(m\) Zahlen \(x_1,x_2,\dots,x_m\leq x\), für welche \(x\), \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_m\) teilerfremd sind) etwas Neues zu leisten. Diese Function ist aber schon längst betrachtet und z. B. in der Gruppentheorie angewendet worden (Camille Jordan: Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris 1870, S. 96). Ihr Wert ist \[ \varphi_m(x) = x^m \prod_p \left(1-\frac1{p^m}\right) = x^m \sum_d\frac{\mu(d)}{d^m}, \] wo \(p\) alle Primfactoren, \(d\) alle Divisoren von \(x\) durchläuft; ihre charakteristische Eigenschaft ist \[ \sum_d \varphi_m(d) = x^m. \] Nachdem Verf. noch viele andere complicirtere Relationen für \(\varphi_m(x)\) abgeleitet hat, geht er im zweiten Kapitel dazu über, gewisse mit ihr zusammenhängende Summen asymptotisch abzuschätzen. Gleich beim Beginn begeht er aber einen Fehler. Es handelt sich um die Hülfsaufgabe, \(\sum\limits_{n=1}^{[x]} \frac1n\) näherungsweise zu berechnen, zunächst für ganze \(x\), worauf der allgemeine Fall leicht zurückführbar ist. Statt nun einfach von der Formel \[ \sum_{n=1}^x \frac1n = \log x + C + \frac{\vartheta}{2x}\qquad (0\leq\vartheta\leq1) \] auszugehen, welche \[ \left|\sum_{n=1}^x \frac1n - \log x\right| \leq C + \frac12 \leq1,1 \] ergiebt, wendet Verf. für \(\sum\limits_{n=1}^{x} \frac1n - \log x - C - \frac1{2x}\) die ins Unendliche ausgedehnte, bekanntlich divergente (semiconvergente) Reihe an, deren allgemeines Glied \((-1)^i B_{2i-1}\frac1{2ix^{2i}}\) ist; dabei schreibt er versehentlich noch \(2i!\) in den Nenner, und anstatt an der Convergenz der so entstehenden Potenzreihe Anstoss zu nehmen, benutzt er gerade diese Convergenz zur Abschätzung von \(\sum\limits_{n=1}^{x} \frac1n - \log x\). Der absolute Betrag des allgemeinen Gliedes wird vergrössert, wenn \(x\) durch 1 ersetzt wird; die für \(x=1\) entstehende Reihe \(C + \frac12 + \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{B_{2i-1}}{2i!}\frac1{2i}\) hat eine Summe \(<3\); daher (so schliesst Verf.) ist die gesuchte Differenz dem absoluten Betrage nach stets \(<3\). Glücklicherweise ist das Resultat selbst richtig, so dass seiner Anwendung im folgenden berechtigt ist. Von den asymptotischen Sätzen sei z. B. erwähnt: \[ \sum_{i=1}^{\fracwithdelims[]xk} \varphi_m(i^nk^n) = \frac{x^{mn+1}}{mn+1} \frac{P_{(m,k)}}{\sum_{j=1}^\infty\frac1{j^{m+1}}} + O(x^{mn}\log x), \] wo \[ k = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i},\quad P_{(m,k)} = \prod_{i=1}^r \frac{p_i-1}{p_i^{\alpha-1}(p_i^{m+1}-1)}. \] Im dritten und vierten Kapitel werden die ``totient points'', d. h. Gitterpunkte mit teilerfremden Coordinaten im \(n\)-dimensionalen Raume betrachtet; zunächst werden für die Ebene hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, dass die Anzahl der in einem geschlossenen Flächenstück liegenden Gitterpunkte, deren Abscisse und Ordinate teilerfremd sind, dividirt durch den Inhalt des Flächenstücks, sich der Grenze \(\frac6{\pi^2}\) nähert, falls das Flächenstück sich unendlich ausdehnt. Das sind exacte Untersuchungen, während die manchmal in der Litteratur angewendete Ausdrucksweise: ``die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen teilerfremd sind, ist \(\frac6{\pi^2}\)'' falsch oder mindestens einer präcisen Bedeutung bar ist. Auch Zusatzbedingungen, wie etwa die, das \(x\) durch eine Zahl \(k\) teilbar ist, werden eingeführt. Die Schlussbetrachtungen enthalten noch eine neue Problemstellung, die hier zunächst an einem Beispiel auseinandergesetzt werden möge. Die mittlere Anzahl der Darstellungen aller Zahlen \(\leq N\) durch die Form \(x^2+y^2\) ist bekanntlich (für \(N=\infty\)) \(\pi\). Daraus lässt sich herleiten, dass die Anzahl der Lösungen von \[ x^2 + y^2 \leq N \] mit der Nebenbedingung, dass \(x\) gerade, \(y\) ungerade und zu \(x\) teilerfremd ist, durch \(N\) dividirt, sich für \(N=\infty\) der Grenze \(\frac1{2\pi}\) nähert. Nun lässt sich aber eine Zahl dann und nur dann in zwei Quadrate obiger Art zerlegen, wenn alle ihre Primfactoren die Form \(4k+1\) haben, und zwar alsdann auf \(2^{\nu-1}\) Arten, wenn \(\nu\) die Anzahl ihrer verschiedenen Primfactoren ist. Versteht man also unter \(\Theta_{a,b}(x)\) 1 oder 0, je nachdem alle Primfactoren von \(n\) der Form \(at+b\) angehören oder nicht, so ist \[ \lim_{N=\infty} \frac1N \sum_{x=1}^N 2^{\nu(x)}\Theta_{4,1}(x) = \frac1{\pi}. \] Wie steht es nun mit \[ \lim_{N=\infty} \frac1N \sum_{x=1}^N 2^{\nu(x)}\Theta_{4,3}(x)? \] Verf. vermutet, dass der limes existirt und \(\frac2{\pi}\) ist. Die Theorie der quadratischen Formen bietet jedenfalls keine Handhabe, diese Frage anzugreifen; sie führt, wie Verf. zeigt, für jede Determinante nur zu einem Satz über das System \(s\) der Linearformen, für welche \(D\) quadratischer Rest von den durch sie dargestellten Primzahlen ist. Die bekannte Formel für die mittleres Anzahl der Darstellungen aller Zahlen durch das Formensystem führt zu einer anderen: \[ \begin{split} \varepsilon \lim_{N=\infty} \sum_{x=1}^N 2^{\nu(x)}\Theta_s(x) &= \frac{12}{\pi} h\sqrt{\varDelta}P_{(1,2\varDelta)}\text{ für }D = -\varDelta < 0,\\ &= \frac6{\pi^3} h\sqrt D P_{(1,2D)}\log(T+U\sqrt D)\text{ für }D > 0,\end{split} \] wo \(h\) die Klassenzahl, \(T\), \(U\) die Fundamentallösung der Pell'schen Gleichung ist, \(P_{(m,k)}\) die oben angegebene Bedeutung hat, \(\varepsilon\) für \(-D=\varDelta>1\) gleich 2, für \(-D=\varDelta=1\) gleich 4, für \(D>0\) gleich 1 ist und \(\Theta_s(x)=1\) oder \(=0\), je nachdem alle Primfactoren von \(x\) zu dem System \(s\) von Linearformen gehören oder nicht. Aber für eine einzelne Linearfom \(at+b\) bleibt die Frage nach Existenz und Wert von \(\lim\limits_{N=\infty} \frac1N \sum\limits_{x=1}^N 2^{\nu(x)}\Theta_{a,b}(x)\) offen.