On some problems concerning the distribution of prime numbers. (Q1513506)

Hadamard hatte (vergl. F. d. M. 27, 154, 1896, JFM 27.0154.01 und JFM 27.0154.02) den Primzahlsatz \[ \lim_{x=\infty} \frac1x \sum_{p\leq x} \log p = 1\tag{1} \] (wo \(p\) alle Primzahlen \(\leq x\) durchläuft) mit Hülfe des allgemeineren Satzes \[ \lim_{x=\infty} \frac1x \sum_{p\leq x} \log p \log^{\mu-1}\frac xp = F(\mu)\qquad (\mu>1)\tag{2} \] bewiesen und die Vermutung ausgedrückt, dass (2) sich nicht umgekehrt aus (1) könne herleiten lassen; er stellte vielmehr die Aufgabe, zu untersuchen, welchen genaueren Aufschluss der Satz (2) über die Ordnung des Nullwerdens der Function \(\frac1x \sum\limits_{p\leq x} \log p-1\) geben kann. In der vorliegenden Arbeit wird aber gezeigt, dass (2) thatsächlich eine Folgerung aus (1) ist, also für jedes System von Zahlen \(p\) gilt, das (1) befriedigt, mithin über die Verteilung der Primzahlen keinen neuen Aufschluss liefern kann. Dies ergiebt sich aus einem durch partielle Summation beweisbaren Hülfssatz über gewisse hinreichende Bedingungen, aus denen für eine Function zweier Variabeln \(F(\nu, x)\) die asymptotische Gleichheit \[ \sum_{p\leq x} F(p,x)\thicksim \int_2^x \frac{F(u,x)}{\log u}\,du \] folgt. Ferner wird mit diesem Hülfsmittel der Satz bewiesen, dass die Menge aller Zahlen \(\leq x\), die aus \(k\) Primfactoren zusammengesetzt sind, asymptotisch gleich \(\frac1{(k-1)!}\frac{x(\log\log x)^{k-1}}{\log x}\) ist, d. h. dass der Quotient durch diese Function sich für \(x=\infty\) der Grenze 1 nähert. Nunmehr wird auch der von de la Vallée-Poussin (vergl. F. d. M. 30, 193-194, 1899, JFM 30.0193.03) mit Hülfe seiner neuen Untersuchungen über die Verteilung der Nullstellen der \(\zeta\)-Function bewiesene Satz \[ \sum_{p\leq x} \log p = x + O(xe^{-a\sqrt{\log x}}) \] (\(a\) eine positive Constante) angewendet; er gestattet, einige Ergebnisse schärfer zu formuliren. Es wird endlich darauf hingewiesen, dass aus ihm der andere Satz de la Vallée-Poussin's, dass die Primzahlmenge bis \(x\) gleich \(Li(x) + O(xe^{-a\sqrt{\log x}})\) ist, sich direct beweisen lässt, ohne, wie sein Entdecker es thut, nochmals die Theorie der \(\zeta\)-Function anzuwenden.