On primes and prime ideals in the field of fifth roots of unity. (Q1513512)

Nachdem Verf. in zwei vorangegangenen Arbeiten (vergl. F. d. M. 27, 159-160, 1896, JFM 27.0159.03; 29, 169, 1898, JFM 29.0169.01) die ganzen Zahlen des Körpers \(P(\root5\of1)\) untersucht hatte, geht er nunmehr dazu über, die Primideale des Körpers zu ermitteln. Zuerst wird die Hülfsaufgabe behandelt, modulo eines gegebenen Ideales ein vollständiges Restsystem herzustellen. Der Verfasser findet: Die rationalen Primzahlen \(5n+2\) und \(5n+3\) bleiben unzerlegbar, die Primzahlen \(5n+1\) bezw. \(5n+4\) zerfallen in vier Primideale ersten Grades, bezw. zwei Primideale zweiten Grades. Es giebt also, während von vornherein wegen \[ N(p) = p^4 = cN(\mathfrak p) = cp^f \] auch Primideale dritten Grades denkbar wären, nur solche ersten, zweiten und vierten Grades. Aus den allerersten Betrachtungen aus der Theorie des Kreiskörpers der \(n\)-ten Einheitswurzeln (\(n\) Primzahl), auf den Verf. nicht Bezug nimmt, ergiebt sich dies als ganz selbstverständlich; es kommt eben auf den in \(n-1\) (hier 4) aufgehenden Exponenten \(f\) an, zu dem \(p\) mod. \(n\) gehört.