On the approximation of a real quantity by rational numbers. (Q1513527)

``Unter den verschiedenen möglichen Kettenbruchentwickelungen für eine reelle Grösse \(a\), wobei die Teilzähler \(\pm1\) und die Teilnenner positive ganze Zahlen sind, giebt es eine bestimmte Art der Entwickelung (und zwar die am besten convergirende), für welche die sämtlichen Näherungsbrüche \(x/y\) sich von vorn herein in einfachster Weise charakterisiren lassen: Als Zähler und Nenner der einzelnen Näherungsbrüche erscheinen dabei genau die sämtlichen Paare von ganzen Zahlen \(x\), \(y\), für die \(y>0\) ist, \(x\) und \(y\) relativ prim sind und dazu die Bedingung \[ |(x - ay)y| < \frac12 \] erfüllt ist'' (abgesehen vom Falle \(a=\) ganze Zahl \(+\frac12\)). Verf. hatte auf diese Kettenbruchentwickelung schon früher hingewiesen (vergl. F. d. M. 27, 170, 1896, JFM 27.0170.01); hier weist er nach, dass die obige Ungleichung für dieselbe charakteristisch ist. Der Nachweis ergiebt sich als Specialfall einer auf geometrische Betrachtungen gegründeten Theorie des Systems zweier linearen Formen \(\xi= \alpha x+\beta y\), \(\eta=\gamma x+\delta y\) mit beliebigen reellen Coefficienten und ganzzahligen Unbestimmten. Von dem ersten Satze ausgehend: ``Für \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\) giebt es stets ganze Zahlen \(x\), \(y\), die nicht beide Null sind, und für welche \(|\xi\eta|\leq\frac12\) ist'', gelangt Verf. schliesslich (unter der Annahme, dass die quadratische Form \(\xi\eta\) nicht durch eine ganzzahlige Substitution \(x=pX+p'Y\), \(y=qX+q'Y\) mit der Determinante \(\pm1\) in \(XY\) oder \(\frac12(X^2-Y^2)\) transformirt werden kann), dazu, alle Paare ganzer teilerfremder Zahlen \(x\), \(y\), für welche \(|\xi\eta|<\frac12\) und ausserdem \(\eta>0\) bezw. \(\eta=0\), \(\xi>0\) ist, in eine Reihe nach wachsenden \(\eta\) und zugleich nach abnehmenden \(|\xi|\) zu ordnen, welche so beschaffen ist: Für je zwei auf einander folgende Systeme \(x=p\), \(y=q\) und \(x=p'\), \(y=q'\) ist \(pq'-qp'=\pm1\). Je nachdem \(\frac{\delta}{-\gamma}\), bezw. \(\frac{-\beta}{\alpha}\) rational oder irrational ist, weist die Reihe ein bestimmtes erstes, bezw. letztes System auf oder nicht. Ist die Reihe ohne letztes System, so convergirt \(|\xi|\) nach Null, und \(\eta\) wächst über jede Grenze; ist sie ohne erstes System, so wächst bei umgekehrter Folge der Systeme \(|\xi|\) über jede Grenze und \(\eta\) convergirt nach Null. Die Reihe der hier auftretenden Gitterpunkte \(x\), \(y\), nach wachsenden \(\eta\) geordnet, heisse eine Kette zu den Formen \(\xi\), \(\eta\), ein einzelner Gitterpunkt ein Kettenglied. Der Algorithmus zur Berechnung eines Kettengliedes aus dem vorhergehenden führt zu einem einfachen Zusammenhang zwischen drei auf einander folgenden Kettengliedern. Von den allgemeinen Untersuchungen macht Verf. nun die Anwendung auf das System der Formen \(\xi=x-ay\), \(\eta=y\). So ergiebt sich der am Anfang ausgesprochene Satz. Nebenbei erhält man das wichtige Resultat: Nach Annahme dreier reellen Grössen \(a\), \(b\), \(c\) kann man stets ganze Zahlen \(x\), \(y\) finden, so dass \[ |(x - ay - b)(y - c)| < \frac14 \] ist. Für \(c=0\) ist dies eine Verschärfung des entsprechenden Hermite'schen Satzes, bei dem statt \(\frac14\) die grössere Zahl \(\sqrt{\frac2{27}}\) steht (vorher war Tschebyschef bis \(\frac12\) und noch früher Dirichlet bis 1 gekommen). Verf. nennt den hier definirten Kettenbruch für die Grösse \(a\) aus einem der geometrischen Interpretation entstammenden Grunde den Diagonalkettenbruch und beweist zum Schluss, dass für Wurzeln von quadratischen Gleichungen mit rationalen Coefficienten und nur für solche der Diagonalkettenbruch periodisch ist.