Ueber eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe bei Kettenbruchentwickelungen. (Q1513545)

Im Jahre 1888 wurde Gyldén bei seinen störungstheoretischen Untersuchungen auf die Frage nach der Wahrscheinlichkeit von Convergenz oder Divergenz gewisser Reihen geführt, unter denen die grösste Möglichkeit für Divergenz die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty a_{n+1}^2 r_n^2 \varepsilon^{r_n} \] darbot. Hier bedeutete \(\varepsilon\) eine positive Grösse \(<1\), und die Zahlen \(a_{n+1}\) und \(r_n\) gehörten in der Weise zu der Kettenbruchentwickelung einer zwischen 0 und 1 liegenden reellen Zahl \(\mu\), dass \[ \mu = \cfrac{1}{ a_1 + \cfrac{ 1}{ a_2 + \cfrac{ 1}{ a_3 +\cdots}}} \] und \(\frac{r_n}{s_n}=(a_1,a_2,\dots,a_n)\) die Convergenten des Kettenbruches waren. Die Untersuchung der Convergenz gipfelte in der Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass irgend eine der (positiven) ganzen Zahlen \(a_n\) einen gewissen Wert \(k\) erhält. Die Brodén'sche Abhandlung (siehe JFM 31.0220.03) bezeichnet sich als eine Revision der Gyldén'schen Untersuchungen. Sie greift unter Anwendung der Mengenlehre das Problem mit grösserer Gründlichkeit an, sie ergänzt die Wahrscheinlichkeitsfrage in gewissen Beziehungen sachlich, bemerkt einige Versehen Gyldén's und fügt auch zu dessen Hauptresultat der reihentheoretischen Untersuchung manches Bemerkenswerte hinzu. Dagegen erbringt sie nicht den Beweis der nach Gyldén's Behauptung verschwindenden Wahrscheinlichkeit für die Divergenz der citirten Reihe, und sie beschränkt sich bei dem eigentlichen Wahrscheinlichkeitsproblem auf mehr oder weniger genaue Approximationen. Beide Aufgaben, die Untersuchung der Divergenz und die wirkliche Ausführung der Wahrscheinlichkeitsbestimmungen, löst Wiman vollständig, und zwar auf die denkbar elementarste Weise. Seinen Entwickelungen, wie denen Brodén's, liegt die Voraussetzung zu Grunde, dass alle Teilstrecken zwischen 0 und 1 von gleicher Länge gleichberechtigt sein sollen, d. h. dass dieselbe Wahrscheinlichkeit besteht, dass die Zahl \(\mu\) in eine solche Teilstrecke wie in jede andere fällt. Sind dann \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\) gegebene Zahlen, nicht aber die folgenden, so liegt \(\mu\) zwischen den Zahlen \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) und \((a_1,a_2,\dots,a_n,1)\) und ist auf die Strecke \[ l_{n1} = (-1)^n[(a_1,a_2,\dots,a_n,1) - (a_1,a_2,\dots,a_n)] = 1/s_n(s_n + s_{n-1}) \] beschränkt. Soll nun weiter \(a_{n+1}\geq k\) sein, so muss \(\mu\) in die Strecke \((a_1,a_2,\dots,a_n) - (a_1,a_2,\dots,a_n,k)\) fallen, für deren Länge \(l_{nk}\) man \(l_{nk}=1/s_n(ks_n + s_{n-1})\) findet. Die Wahrscheinlichkeit, dass \(\mu\) bei den gegebenen \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\) zu dieser Strecke gehört, ist nach der Voraussetzung über die Gleichberechtigung gleich langer Strecken \(l_{nk}: l_{n1}\). Es ergiebt sich demnach, falls \(s_{n-1}/s_n = q_n\) gesetzt wird, für die Wahrscheinlichkeit \(W(q_n,k)\), dass \(a_{n+1}\) den Wert \(k\) erreicht oder übersteigt, der Ausdruck: \[ W(q_n,k) = \frac{1+q_n}{k+q_n}. \] Wird ferner mit \(F(q_n,k)\) die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass \(a_{n+1}=k\) wird, so ergiebt sich \[ F(q_n,k) = W(q_n,k) - W(q_n,k+1) = \frac{1+q_n}{(k+q_n)(k+1+q_n)}. \] Einen Hauptpunkt in den Entwickelungen bei Gyldén und Brodén bildet die Bestimmung des wahrscheinlichen Wertes \(q\) von \(q_n\) bei unbegrenzt wachsendem \(n\). Obgleich die dabei angewandten Methoden auf Genauigkeit keinen Anspruch machen, so zeigt Wiman doch, dass der von beiden gegebene Wert \(q=\sqrt2-1\) mit dem richtigen völlig übereinstimmt. Dagegen ist die Uebereinstimmung mit dem wahren Sachverhältnis nicht länger vollkommen, wenn man mit Brodén in \(W(q_n, k)\) und \(F(q_n,k)\) für \(q_n\) diesen Wert \(q\) substituirt, um Näherungswerte der Wahrscheinlichkeiten \(S_{n,k}\), bezw. \(D_{n,k}\) zu erhalten, dass \(a_{n+1}\geq k\) bezw. \(a_{n+1}=k\) ist. Die Beweisführung Wiman's stützt sich auf den folgenden Hülfssatz: Bezeichnen \(q_n'\) und \(q_n''\) irgend zwei Stellen zwischen 0 und 1, und grenzt man bei diesen Stellen zwei gleich grosse, aber sehr kleine Teilstrecken ab, so nähert sich das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten, dass \(q_n\) in die eine oder andere von diesen Teilstrecken fällt, bei fortgehender Verminderung der Strecken und unbegrenzt wachsendem \(n\) einem von \(n\) unabhängigen Grenzwert. Der für \(W(q_n,k)\) gefundene Ausdruck liefert endlich die Mittel zum Nachweise des Gyldén'schen Satzes, dass für die eingangs erwähnte Reihe die Wahrscheinlichkeit, zu divergiren, äusserst gering ist.