Sur une proposition de la théorie des probabilités. (Q1513560)

Da der Beweis des berühmten Satzes von Laplace-Poisson über Wahrscheinlichkeiten der Summen unabhängiger Grössen, der zuerst von Tschebyschew gegeben und von A. Markow (F. d. M. 29, 188, JFM 29.0188.02; vergl. das folg. Ref., siehe JFM 31.0228.03) neuerdings vervollständigt wurde, wenn auch ganz streng, doch etwas complicirt ist und nicht aus der Natur der Frage fliesst, so stellte sich der Verf. die Aufgabe, einen directen und möglichst elementaren Beweis zu geben. Dies ist ihm gelungen mit Hülfe der Methode des discontinuirlichen Factors (zuerst wohl von Glaisher angewandt, wie der Verf. bemerkt); er beweist den Satz in folgender Form: Es sei \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... eine unendliche Reihe von unabhängigen Veränderlichen; bekannt seien nicht deren Werte selbst, wohl aber die Wahrscheinlichkeiten, dass sie zwischen gegebenen Grenzen liegen. Vorausgesetzt, dass die mathematischen Hoffnungen \(d_i\), \(a_i\), \(l_i\) der Grössen \(x_i\), \(x_i^2\), \(|x_i|^3\) wirklich existiren, setzen wir \(\sum(a_i-\alpha_i^2)=nA\) und \(L^3\) gleich der grössten der Zahlen \(l_1\), ..., \(l_n\). Wenn \(\lim\limits_{n=\infty}\frac{L^3}{A\root3\of n} = 0\), so nähert sich die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \[ z_1\sqrt{2nA} < x_1 - \alpha_1 + x_2 - \alpha_2 +\cdots+ x_n - \alpha_n < z_2\sqrt{2nA} \] (\(z_1\) u. \(z_2>z_1\) beliebig) für unendlich wachsendes \(n\) der Grenze \[ \frac1{\sqrt{\pi}} \int_{z_1}^{z_2} e^{-z^2}dz, \] und zwar gleichförmig für alle Werte von \(z_1\) und \(z_2\).