Ueber die Wahrscheinlichkeit einer Fehlerverteilung. (Q1513576)

Lehmann-Filhés hatte in einer Abhandlung ``Ueber wahrscheinlichste Fehlerverteilungen'' in den Astron. Nachr. 127, No. 3043, 305 bis 316 (vergl. F. d. M. 23, 239-240, 1891, JFM 23.0239.01) auf eine Unvollkommenheit in der üblichen Art der Bestimmung der Anzahl der Fehler einer Beobachtungsreihe zwischen gegebenen Grenzen (d. h. in der Bestimmung der theoretischen Fehlerverteilung) hingewiesen, diese Unvollkommenheit beseitigt und, hiervon ausgehend, eine sichere Methode zur Auffindung der wahrscheinlichsten Fehlerverteilung angegeben. Hierbei kam es auf die Form des Fehlergesetzes im allgemeinen nicht an. Ist nun \(w\) die Wahrscheinlichkeit der Erfahrungs-Fehlerverteilung, berechnet nach der Formel: \[ w = \frac{N!}{\nu_1!\nu_2!\dots\nu_k!} w_1^{\nu_1} w_2^{\nu_2} \cdots w_1^{\nu_k}, \] welche die Wahrscheinlichkeit einer solchen Verteilung von \(N\) Fehlern in \(k\) Gruppen darstellt, bei der die Fehler, deren Wahrscheinlichkeit \(w_i\) ist, \(\nu_i\)-mal vorkommen, so ist nach dem Verf. die Bestimmung des Wertes des Verhältnisses \(w:W\), wo \(W\) die analog wie \(w\) berechnete Maximal-Wahrscheinlichkeit der wahrscheinlichsten Fehlerverteilung bedeutet, das richtigste und bequemste Mittel, die Frage, ob auf die gegebenen Beobachtungen irgend ein Fehlergesetz oder welches am besten anwendbar ist, zu beantworten. Jedoch kommt durch die Willkürlichkeit der Gruppirungsweise der Fehler, d. h. durch die Wahl der Fehlergrenzen \(a_1,a_2,\dots,a_k\) für die einzelnen Gruppen, in die Berechnung von \(w:W\) eine Unsicherheit hinein, die, wie an dem auch von Lehmann-Filhés behandelten Beispiel gezeigt wird, jeden sicheren Schluss unmöglich macht. Nun ist aber von allen Werten \(w:W\) der als der richtigste zu betrachten, der sich auf die kleinsten Differenzen der Gruppengrenzen bezieht, also auf den kleinsten Bruchteil \(\alpha\) der Masseinheit, der bei den betreffenden Beobachtungen vorkommt. Da wir jede Beobachtung, deren Resultat zwischen \(t\alpha\mp\frac12\alpha\) liegt, wo \(t\) eine ganze Zahl ist, durch \(t\alpha\) darstellen müssen, so ist als berechtigtste Gruppirung der Fehler die zu betrachten, bei der die Grenzen der Gruppen \[ -\infty,\dots,-(i+\frac12)\alpha, -(i-\frac12)\alpha,\dots, -1\frac12\alpha, -\frac12\alpha, +\frac12\alpha,\dots, +(i-\frac12)\alpha, +(i+\frac12)\alpha,\dots, +\infty \] sind. Nimmt man, um eine bestimmte Annahme zu machen, das Gauss'che Fehlergesetz an, so ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers \(t_i\alpha\) \[ w_i = \frac2{\sqrt{\pi}} \int_{\frac{(t_i-\frac12)\alpha}{\varepsilon\sqrt2}} ^{\frac{(t_i+\frac12)\alpha}{\varepsilon\sqrt2}} e^{-z^2}dz, \] wo \(\varepsilon\) den mittleren Fehler bedeutet. Ist \(\nu_1\) die Anzahl der Fehler \(t_i\alpha\) nach der Erfahrung, und berechnet man nach der üblichen Methode oder auch nach Lehmann-Filhés die Zahlen \(n_i\) für die Anzahl der Fehler in jeder Gruppe nach der wahrscheinlichsten Fehlerverteilung, so hat man: \[ w = \frac{N!}{\prod \nu_i!}\prod w_i^{\nu_i};\qquad W = \frac{N!}{\prod n_i!}\prod w_i^{n_i}. \] Die Aufgabe könnte hiermit als gelöst angesehen werden; jedoch wird diese Methode in allen den Fällen praktisch unausführbar bleiben, wo die Anzahl der vorhandenen möglichen Fehler die Zahl der Beobachtungen bedeutend übertrifft. In diesen Fällen muss man die Auffindung der Anzahl der Fehler in verschiedenen Gruppen durch die Auffindung der wahrscheinlichsten Gesamtheit der Gruppen, in denen je ein Fehler enthalten sein kann, ersetzen. Die Abscissen \(b_i\), welche die wahrscheinlichste Anordnung der Gesamtheit der Fehler darstellen, werden nun durch die Lösungen der Gleichungen \[ \frac2{\sqrt{\pi}} \int_0^{\frac{b_i}{\varepsilon\sqrt2}} e^{-z^2}dz = \frac{i-\frac12}N\qquad (i = 1,2,\dots,N) \] gegeben. Da aber jeder Fehler durch eine ganze Zahl von Einheitsbruchteilen \(\alpha\) dargestellt sein muss, so ist die wahrscheinlichste Gesamtheit der Fehler durch \[ \tau_1\alpha,\,\tau_2\alpha,\dots,\tau_N\alpha \] dargestellt, wo \[ \tau_i = E\left(\frac{b_i}{\alpha}\right) + 1, \] d. h. das zu \(b_i\) nächst grössere Multiplum von \(\alpha\) ist. Diese Methode wird an einem Beispiele ausführlich erläutert, indem auch die praktischsten Rechenvorschriften angegeben werden, bei deren Anwendung sich Tafeln für \(\frac2{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^t e^{-z^2}dz\) als sehr nützlich erweisen.