Asymptotic values of certain series proceeding according to the positive integer powers of a real variable. (Q1513609)

1. Es sei \(f(z) = \sum\limits_0^\infty \alpha_nz^n\), \(z\) eine reelle Veränderliche, die Coefficienten \(\alpha_n\) positiv. Wenn diese Reihe in jedem Intervall convergirt, so nimmt sie ohne Ende zu, wenn \(z\), durch positive Werte gehend, unendlich wird. Wenn diese Reihe den endlichen Convergenzbereich \((-1, +1)\) hat und \(\sum\limits_0^\infty \alpha_n\) divergirt, so wird \(\sum\limits_0^\infty \alpha_nz^n\) unendlich zunehmen, wenn \(z\) gegen 1 convergirt. 2. Es sei \(\alpha(x)\) eine Function, für welche \(\alpha_n = \alpha(n)\) ist, \(\beta(x)\) eine Function von der Art, dass das Verhältnis \(\beta'(x):\alpha(x)\) für ein unendlich wachsendes \(x\) gegen 1 convergirt. Dann ist der asymptotische Wert von \(f(z)\) für einen der Eins benachbarten Wert von \(z\), wenn \(C\) eine Constante bedeutet, gleich \(C\beta\left(\frac1{1-z}\right)\), wenn die positiven Coefficienten \(\alpha_n\) für ein ohne Ende wachsendes \(n\) bis 0 abnehmen. Ist \(\alpha_n = e^{-\varphi(n)}\) und \(\lim\limits_{n=\infty} \frac{\varphi(n)}n = 0\), so besteht die asymptotische Gleichung: \(f(z)\thicksim J = \int\limits_0^\infty e^{-\varphi(x)-ax}dx\). 3. Ist \(\alpha_n = e^{\varphi(n)}\), \(\varphi(x)\) stetig, positiv und wachsend für \(x>0\) und \(\lim\limits_{n=\infty}\frac{\varphi(n)}n=0\), so ist \(f(z)\thicksim J= \int\limits_0^\infty e^{-\varphi(x)-ax}dx\). Um die Ordnung, von welcher \(J\) unendlich wird, zu bestimmen, wird \(\alpha_n=n^p e^{-\varphi(n)}\) gesetzt; dann zeigt sich, dass \[ f(z)\thicksim K = \int_0^{\frac1{1-z}} e^{-\varphi(x)}x^p dx \] ist. Ist z. B. \(\alpha_n=\frac{n^p}{(Ln)^q}\), \(p>0\), \(q\) beliebig, so ist \[ f(z)\thicksim \frac C{(1-z)^{p+1}\left[L\frac1{1-z}\right]^q}. \] 4. Der Fall: \(x^2\varphi''(x) = -\psi(x)\), \(\psi(x)\) sei positiv und ohne Ende wachsend mit \(x\). Ist \(\alpha_n = e^{n^p}\) \((0<p<1)\), so ist für \(z = \frac12\) \[ f(z) = e^{-\frac18}\cdot \frac1{1-z} \sqrt{\frac{\pi}{1-z}} e^{\frac1{4(1-z)}}. \] 5. Es sei \(f(z)=\sum\limits_0^\infty \alpha_nz^n\), \(\alpha_n=e^{-\varphi(n)}\); \(\varphi(x)\), \(\varphi'(x)\), \(\varphi''(x)\) seien stetig und positiv für \(x>0\); \(\varphi(x)\), \(\varphi'(x)\) wachsen bis ins Unendliche, \(\varphi''(x)\) nehme bis 0 ab, und es sei \(x^2\varphi''(x)=\psi(x)\), wo \(\psi(x)\) positiv ist und ohne Ende mit \(x\) wächst; \(\frac{\varphi(x)}x\) werde mit \(x\) unendlich. Wird dann gesetzt \(z = e^\alpha\) \((\alpha>0)\), so wird, wenn \(\alpha\) unendlich wird, \[ f(z)\thicksim J = \int_0^\infty e^{\alpha x-\varphi(x)}dx. \] Als Beispiel wird \(\alpha_n=\frac1{(n!)^p}\) behandelt. 6. Aehnlich ist der Fall zu behandeln, in welchem \(\varphi''(x)\) ohne Ende mit \(x\) wächst, während die anderen Hypothesen dieselben bleiben.