Sequences of positive integers each of which is a linear function of the two preceding ones. (Q1513644)

In dem ersten Aufsatze (siehe JFM 31.0285.01) werden Zahlen \(U_i\) betrachtet, die durch das recurrente Gesetz \(U_{n+1} = U_n + U_{n-1}\) verbunden sind. Nimmt man als Anfangsglieder die Zahlen \(a\) und \(b\) als gegeben an, so ist die Reihe bestimmt. Die für \(a=1\), \(b=1\) sich ergebende Reihe 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... wird als Reihe \(u_n\) bezeichnet. Es findet sich leicht \(U_n = au_{n-2} + bu_{n-1}\). Aus diesem Gesetze werden zahlreiche Eigenschaften der Zahlen \(U_n\) und \(u_n\) hergeleitet, ohne dass die bekannte Entstehung der Zahlen \(u_n\) als Zähler und Nenner der Kettenbruchentwickelung \(1 + \frac{1|}{|1} + \frac{1|}{|1} +\cdots\) benutzt wird. Der zweite Aufsatz dehnt die Betrachtung auf die Zahlen \(V_i\) aus, die dem Recursionsgesetze gehorchen \(V_n=hV_{n-1}+lV_{n-2}\). Als Reihe \(v_i\) wird hier diejenige definirt, welche mit \(v_1=1\), \(v_2=h\) beginnt. Die Zahlen \(V_i\) hängen mit den Zahlen \(v_i\) durch die Gleichung zusammen: \(V_{n+s}= v_{s+1}V_n + lv_sV_{n+1}\). --- Die aufgefundenen Eigenschaften, die zum Theil zahlentheoretischer Natur sind und quadratische Formen betreffen, können hier nicht einzeln aufgezählt werden.