Sulla teoria die limiti. (Q1513665)

Beweis des Satzes: Wenn \(\lim\limits_{x=a}f(x,y)\) für einen beliebigen Wert von \(y\) in der Umgebung von \(b\) und \(\lim\limits_{y=b}f(x,y)\) für einen beliebigen Wert von \(x\) in der Umgebung von \(a\) existirt, wenn ferner \(f(x,y)\) gleichförmig gegen die eine oder die andere dieser beiden Grenzen convergirt, so existiren die beiden Grenzwerte \(\lim\limits_{x=a}\lim\limits_{y=b}f(x,y)\) und \(\lim\limits_{y=b}\lim\limits_{x=a}f(x,y)\) und sind einander gleich. Unter der gleichförmigen Convergenz von \(f(x,y)\) gegen einen der beiden Grenzwerte soll verstanden werden, dass von einer gewissen Stelle ab \(|f(x,y) - \lim\limits_{x=a}f(x,y)|\), bezw. \(|f(x,y) - \lim\limits_{y=b}f(x,z)|\) kleiner als eine beliebig klein angenommene Zahl ist. Von dem Satze werden einige Anwendungen gemacht, und am Schlusse wird der Satz selbst in leicht erkennbarer Weise für Functionen von \(n\) Veränderlichen ausgesprochen.