Question 14317. (Q1513702)

Das Frullani'sche Theorem: \[ \int_0^\infty \frac{dx}x \left\{\varphi(ax) - \varphi(bx)\right\} = \left\{\varphi(\infty) - \varphi(0)\right\}\ln\frac ab \] unter Ausdehnung auf die Fälle zu beweisen, in denen 1) \(\varphi(x)\) ein discretes System von Unendlichen in dem Intervalle \((0\dots\infty)\) hat, während es einen bestimmten Integralwert in der Nähe jedes Wertes von \(x\) besitzt; 2) wenn nur der Hauptwert des Integrals bestimmt ist. Auch der Fall wird betrachtet, bei welchem \(\varphi(x)\) im Unendlichen zwischen endlichen oder unendlichen Grenzen schwankt.