Ueber die singulären Lösungen eines algebraischen Differentialgleichungssystems erster Ordnung mit \(n\) abhängigen Variabeln. (Q1513726)

Ueber die erste Arbeit (siehe JFM 31.0329.01) sagt Verf. in der Einleitung: ``Im 112. Bande dieses Journals S. 205 ff. (F. d. M. 25, 558-562, 1893, JFM 25.0558.01) sind die singulären Lösungen der algebraischen Differentialgleichungen erster Ordnung in \(y\) als Functionen von \(x\) nach einem Verfahren behandelt worden, welches gestattet, aus der Gestalt der Entwickelung eines Teilers \(y-\eta\) der Discriminante der Differentialgleichung in Beziehung auf \(y'\) nach Potenzen von \(x-c\), wo \(c\) ein willkürlicher Wert ist, zu entscheiden, ob \(y-\eta\) ein singuläres oder particulares oder überhaupt kein Integral darstellt. Dem Verfahren lag ein Princip zu Grunde, das Fuchs in seiner Arbeit ``Ueber Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen'' (Berl. Ber. 1884, 699 ff.) angewandt hat. Diese Methode lässt eine Erweiterung zu auf die singulären Lösungen algebraischer Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung, die in Form von Differentialgleichungen \((n-1)\)-ter Ordnung ohne willkürliche Constante erscheinen. Ist \(y^{(n-1)} - \eta\) ein Teiler der Discriminante \(\varDelta\) der gegebenen Differentialgleichung in Beziehung auf \(y^{(n)}\), wo \(\eta\) eine Function von \(x,y,y',\dots,y^{(n-2)}\) bedeutet, so giebt die Entwickelung von \(y^{(n-1)} - \eta\) nach Potenzen von \(x-x_0\) für einen willkürlichen Wert von \(x_0\) in gleicher Weise charakteristische Merkmale dafür, ob \(y^{(n-1)} = \eta\) ein singuläres oder particulares oder überhaupt kein erstes Integral darstellt. Hiermit sowie mit der geometrischen Bedeutung von \(y^{(n-1)} = \eta\) in allen Fällen beschäftigt sich der erste Abschnitt. Im zweiten wird eine Darstellung von \(n\) von einander unabhängigen ersten Integralen in in der Form \(\varphi(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})=\) const. gegeben, worin \(\varphi\) nach Potenzen von \(y^{(n-1)} - \eta\) mit von \(x,y,y',\dots,y^{(n-2)}\) abhängenden Coefficienten entwickelt ist, und es wird gezeigt, wie die Exponenten der niedrigsten Potenz in der Entwickelungsreihe ebenfalls für die Beziehung der Gleichung \(y^{(n-1)} = \eta\) zur Differentialgleichung charakteristisch sind. Im Anschluss daran wird im dritten Abschnitt die Existenz von ersten Integralen in der Form \(F(x,y,y',\dots,y^{(n-1)},C) = 0\) abgeleitet, welche Gleichung vom \(m\)-ten Grade in \(C\) ist, falls \(m\) den Grad der Differentialgleichung in Bezug auf \(y^{(n)}\) bedeutet, worin ferner der Coefficient von \(C^m\) gleich 1 und die Coefficienten der übrigen Potenzen in der Umgebung eines willkürlichen Wertsystems \(x_0,y_0,y_0',\dots,y_0^{(n-1)}\) in nach ganzen positiven Potenzen von \(x-x_0,y-y_0,y'-y_0',\dots,y^{(n-1)}-y_0^{(n-1)}\) fortschreitende Reihen entwickelt werden können. Eine solche Integralgleichung wird bei der weiteren Betrachtung zu Grunde gelegt und die Discriminante \(D\) von \(F=0\) in Beziehung auf \(C\) untersucht. Bezeichnet man einen Teiler derselben mit \(y^{(n-1)} - \eta'\), so zeigt sich, dass die Entscheidung darüber, ob \(y^{(n-1)} = \eta'\) ein singuläres Integral der aus \(F=0\) hervorgehenden Differentialgleichung ist, durch dieselbe Beschaffenheit des Exponenten der niedrigsten Potenz von \(y^{(n-1)} - \eta'\) in der Entwickelung von \(C\) nach Potenzen von \(y^{(n-1)} - \eta'\) gegeben wird, die das ausschliessliche Kriterium dafür war, dass die Gleichung \(y^{(n-1)} = \eta\), wo \(y^{(n-1)} - \eta\) ein linearer Teiler der Discriminante \(\varDelta\) ist, singuläre Lösung ist. Es folgt daraus, dass die Gleichungen \(\varDelta=0\) und \(D=0\) die singulären Lösungen zu gemeinsamen Wurzeln haben müssen. Während aber eine Bedingung dafür zu erfüllen ist, dass die Wurzeln von \(\varDelta=0\) eine Differentialgleichung als erste Integrale befriedigen, ist umgekehrt mindestens eine Bedingung erforderlich, damit keine Wurzel von \(D=0\) ein Integral der Differentialgleichung sei.'' In der zweiten Arbeit wird die Behandlung der Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit mehreren abhängigen Variabeln nach der gleichen Methode durchgeführt. ``Wiewohl die Differentialgleichungssysteme mit \(n\) abhängigen Variabeln stets auf eine einzige Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung zurückgeführt werden können, so schien es doch von Interesse, die Frage nach den singulären Lösungen der ersteren Systeme ohne Hülfe dieser Reduction zu untersuchen. Die Entwickelungen geschehen nach derselben Methode wie in der ersten Arbeit, und zwar wird zuerst von den Differentialgleichungen, dann von den vollständigen Integralen ausgegangen. Die Ergebnisse stimmen in beiden Betrachtungen überein. Die Frage nach den singulären Lösungen eines algebraischen Differentialgleichungssystems erster Ordnung hat Picard in seinem Traité d'Analyse t. III, 52 ff. behandelt, sich jedoch auf den Fall beschränkt, dass die darin auftretende Irrationalität durch eine Quadratwurzel darstellbar ist. Ein Kriterium dafür, ob die durch Nullsetzung des Radicanden erhaltene Gleichung, falls sie mit dem Differentialgleichungssystem verträglich ist, ein singuläres oder particulares Integral darstellt, findet sich a. a. O. nicht angegeben. Das dort eingeschlagene Verfahren, aus dem nicht ersichtlich ist, wie es auf den Fall einer beliebigen algebraischen Irrationalität auszudehnen sei, ist von dem hier befolgten wesentlich verschieden. Dieses beruht, wie in der ersten Arbeit, auf der Erweiterung der von Fuchs (l. c.) eingeführten Methode der Zerlegung der Discriminante einer Differentialgleichung in ihre linearen Teiler auf Systeme von Differentialgleichungen.''