Ueber reductible lineare Differentialgleichungen. (Q1513728)

Der lineare homogene Differentialausdruck \(P\) lasse sich bei \(x=0\) zerlegen in \(P\equiv Q(R(\dots(Z)))\), wo \(P\), \(Q\), \(R\), ... bei \(x=0\) die Normalform haben, und dem entsprechend die determinirende Function von \(P\) in \(\mathfrak p(\lambda) = \mathfrak q(\lambda)\cdot\mathfrak r(\lambda)\dots\mathfrak z(\lambda)\). Wenn nun ein unter den Factoren auftretender Differentialausdruck \(S\) bei \(x=0\) eine Stelle der Bestimmtheit mit der determinirenden Function \(\mathfrak f(\lambda)\) hat, so entspricht jeder Wurzel \(\mathfrak f(\lambda)=0\) eine Wurzel \(w = e^{2\pi i\lambda}\) der zu \(x=0\) gehörigen Fundamentalgleichung von \(P=0\). Vermittelst dieses Satzes gelingt es dem Verf., zu beweisen, dass es bei \(x=0\) irreductible Differentialgleichungen giebt, deren determinirende Function keine Constante ist. Für den Fall, dass letztere eine Constante ist, hat bereits Frobenius die Existenz irreductibler Differentialgleichungen bei der betreffenden Stelle nachgewiesen.