Neue Methode zur approximativen Integration der Differentialgleichungen einer unabhängigen Variable. (Q1513730)

Die hier entwickelte Methode zur approximativen Integration der Differentialgleichungen beruht auf einer Erweiterung des der Gauss'schen Quadraturmethode zu Grunde liegenden Gedankens. Das Problem wird in folgender Weise gestellt: Man sucht ein Grössensystem \[ \alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_n;\quad \varepsilon_1,\,\varepsilon_2,\,\dots,\,\varepsilon_n;\quad \varepsilon_1',\,\varepsilon_2',\,\dots,\,\varepsilon_n';\quad \varepsilon_1'',\,\varepsilon_2'',\,\dots,\,\varepsilon_n'';\quad\text{etc.} \] so zu bestimmen, dass der Ausdruck \[ \varDelta y = \sum_{\nu=1}^{\nu=n} \alpha_\nu f(x + \varepsilon_\nu\varDelta x,y + \varDelta_y')\varDelta x, \] wo \[ \begin{aligned} \varDelta_\nu' &= \varepsilon_\nu f(x + \varepsilon_\nu'\varDelta x,y + \varDelta_\nu''y)\varDelta x,\\ \varDelta_\nu'' &= \varepsilon_\nu' f(x + \varepsilon_\nu''\varDelta x,y + \varDelta_\nu'''y)\varDelta x,\\ .\quad&.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\\ \varDelta_\nu^{(m)} &= \varepsilon_\nu^{(m-1)}f(x,y)\varDelta x\end{aligned} \] bedeutet, die Fortsetzung der durch die Differentialgleichung \[ dy/dx = f(x,y) \] definirten Function \(y\) für das Intervall \(\varDelta x\) mit der grössten auf diesem Wege erreichbaren Approximation darstellt. Für \(m=1\) (Appr. zweiter Ordnung) erhält man \(\sum\alpha=1\), \(\sum\alpha\varepsilon=\frac12\), woraus, wenn man \(n=1\) nimmt, die Approximationsformel \(\varDelta y = f(x + \frac12\varDelta x,y + \frac12f\cdot\varDelta x)\) sich ergiebt. Für \(m=2\), welcher Fall am meisten für die Anwendungen in Betracht kommt, wird \[ \sum\alpha = 1,\quad \sum\alpha\varepsilon = \frac12,\quad \sum\alpha\varepsilon^2 = \frac13,\quad \sum\alpha\varepsilon\varepsilon' = \frac16. \] Nimmt man hier \(n=3\), so hat man neun unbekannte Grössen; durch Hinzufügung der willkürlichen Bestimmungen \(\varepsilon_1=0\), \(\varepsilon_2=\frac12\), \(\varepsilon_3=1\), \(\varepsilon_1'=0\), \(\varepsilon_2'=0\) gelangt man zu der von Runge gefundenen Formel \[ \begin{aligned} \varDelta y &= \frac16\{f(x,y) + 4f(x + \frac12\varDelta x,y + \frac12f\varDelta x) + f(x + \varDelta x, \varDelta_y')\}\varDelta x,\\ \varDelta_y' &= f(x + \varDelta x,y + f\cdot\varDelta x)\varDelta x.\end{aligned} \] Ein analoges Verfahren wird auf die Integration der Simultansysteme von Differentialgleichungen erster Ordnung und auf die der Differentialgleichungen höherer Ordnung angewandt.