Sur les équations différentielles d'ordre quelconque à points critiques fixes. (Q1513735)

Untersuchung der Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten von der Form \(\left(y_q = \frac{d^qy}{dx^q}\right)\): \[ y_q^m + A_1(y_{q-1},\dots,y_1,y,x)y_q^{m-1} +\cdots+ A_m(y_{q-1},\dots,y_1,y,x) = 0,\tag{1} \] wo die \(A_i\) rational in \(y_{q-1}\), algebraisch in \(y_{q-2}\) und \(y_{q-3}\), analytisch in \(y_{q-4}\), ..., \(y_1\), \(y\), \(x\) sind. --- Ist \(y_q\) rational in \(y_{q-1}\) und \(y_{q-2}\), so hat die Gleichung (1) die Form \[ y_q = My_{q-1}^2 + Ny_{q-1} + P, \] worin \(M\) von bestimmter Gestalt ist. Die Untersuchung dieser Gleichung führt auf das System \[ \frac{dx}{dz} = v^{\frac{-n}{n-1}},\quad \frac{d^2v}{dz^2} - k(z)\frac{dv}{dz} - \frac n{n+1}l(z)v = 0. \] Die wichtigste Klasse der durch dieses System definirten eindeutigen Transcendenten bilden die automorphen Functionen.