Sur une relation entre la théorie des groupes continus et les équations différentielles à points critiques fixes. (Q1513736)

In dem \((n+1)\)-dimensionalen Raume seien \(y_1,y_2,\dots,y_{n+1}\) die Coordinaten eines Punktes und \(S(y_1,\dots,y_{n+1},x) = 0\) die Gleichung einer algebraischen, vom Parameter \(x\) abhängenden Fläche. Wenn andererseits \[ y_i = R_i(Y_1,\dots,Y_{n+1}, x, a, b,\dots,l)\quad [i = 1, 2,\dots, (n+1)]\tag{G} \] eine endliche continuirliche Gruppe von birationalen Transformationen von \(S\) ist, die analytisch von \(x\) abhängt, dann sind die Coefficienten von \(Y_1\), ..., \(Y_{n+1}\) Functionen von \(x\), deren sämtliche nicht polaren Singularitäten fest, d. h. unabhängig von den Parametern \(a\), \(b\), ..., \(l\) der Gruppe \(G\) sind. Es lasse nun ein System von \(n\) Differentialgleichungen erster Ordnung \[ \frac{dy_i}{dx} = f_i(y_1,\dots,y_n,x)\quad (i = 1,2,\dots,n) \] die Gruppe \(G\) zu, so hat das System, wenn diese Gruppe transitiv ist, nur feste, kritische Punkte. Die Integrale sind, wenn die Ordnung des Systems die Einheit übersteigt, im allgemeinen transcendente Functionen der Constanten. Ein analoger Satz gilt für den allgemeineren Fall, dass die Transformationsgruppe algebraisch ist.