De la détermination unique des intégrales d'un système d'équations différentielles ordinaires par les conditions initiales de Cauchy. (Q1513738)

Gegen den vom Verf. gegebenen Beweis, dass die Cauchysche Lösung des Gleichungssystems \[ \frac{dy_i}{dx} = f_i(x,y_1,y_2,\dots,y_n)\quad (i = 1, 2,\dots, n)\tag{1} \] mit den Anfangsbedingungen \(y_1=b_1, \ldots, y_n=b\) für \(x=a\), falls \(f_i\) in der Umgehung dieser Werte holomorph ist, die einzig mögliche sei, hat \textit{A. R. Forsyth} in seiner ``Theory of differential equations, Bd. II (1900; JFM 31.0322.01), auf Grund einer Bemerkung von Fuchs einen Einwand erhoben. Um diesen zu beseitigen, präcisirt der Verf. genauer, was unter den Worten: der Punkt \(x\) nähere sich auf einem vorgeschriebenen Wege \(l\) dem Punkte \(a\), zu verstehen sei, falls \(l\) ein Weg von unendlicher Länge ist. Es muss nämlich die geradlinige Entfernung \(\overline{xa}\) beständig (nicht in endlichen Schwankungen) sich der Null nähern, wenn der Bogen \(s\) des Weges \(l\), von \(x\) an gerechnet, unbestimmt wächst. In diesem Sinne gilt der Satz: Es existirt keine Lösung \(y_1(x)\), ..., \(y_n(x)\) von (1), holomorph auf einem im Punkte \(a\) endigenden Wege \(l\) (den Punkt \(a\) selbst ausgeschlossen) derart, dass \(y_1(x)\), ..., \(y_n(x)\) den Werten \(b_1\), ..., \(b_n\) sich nähern, wenn \(x\) sich auf \(l\) dem Punkte \(a\) nähert.