Einige Sätze über die reellen Wurzeln der Integrale von homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (Q1513750)

Folgende allgemeine Relation bildet die Grundlage der zu beweisenden Sätze. Sind die Functionen \(f(x)\) und \(f_1(x)\) im reellen Intervalle \((x_1\dots x_2)\) eindeutig, endlich und differentiirbar, und liegt innerhalb dieses Intervalls weder eine gemeinsame noch eine mehrfache Wurzel derselben, so ist \[ \left\{\begin{aligned} \sum_{\lambda=1}^{\lambda=r}\operatorname{sign}(f'(\xi_\lambda)f_1(\xi_\lambda) &+ \sum_{\mu=1}^{\mu=s}\operatorname{sign}(f_1'(\eta_\mu)f(\eta_\mu) =\\ -\frac12\operatorname{sign}(f(x_1)f_1(x_1) &+ \frac12\operatorname{sign}(f(x_2)f_1(x_2))\\ [f(x_1)f(x_2)&f_1(x_1)f_1(x_2)\lessgtr0],\end{aligned}\right.\tag{1} \] wo \(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_r\) alle im Intervalle \((x_1\dots x2)\) liegenden Wurzeln von \(f(x)\), sowie \(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_s\) die von \(f_1(x)\) vorstellen und mit \(\operatorname{sign}(\alpha)\) das Vorzeichen von \(\alpha\) bezeichnet wird. Setzt man in (1) für \(f(x)\) ein Integral \(y\) der Differentialgleichung \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\tag{2} \] und für \(f_1(x)\) die Ableitung \(y'\), so hat man für jedes Intervall \((x_1\dots _x2)\), in dem \(p(x)\) und \(q(x)\) eindeutig und endlich sind und \(q(x)\) überall dasselbe Zeichen hat: \[ \left\{\begin{aligned} \underset{x_1}{\overset{x_2}{\mathfrak A}}(y(x)) &- \operatorname{sign}(q(x_1)) \underset{x_1}{\overset{x_2}{\mathfrak A}}(y'(x)) =\\ &- \frac12\operatorname{sign}(y(x)y'(x_1)) + \frac12\operatorname{sign}(y(x_2) y'(x_2))\\ &[y(x)y(x_2)y'(x_1)y'(x_2)\lessgtr0],\end{aligned}\right.\tag{3} \] wo mit \(\underset{\alpha}{\overset{\beta}{\mathfrak A}}\varphi(x)\) die Anzahl der im Intervalle \((\alpha\dots\beta)\) befindlichen Wurzeln bezeichnet wird. Hieraus wird gefolgert: 1. Ist \(\operatorname{sign}(q(y))=-1\), dann kann weder ein Integral von (2), welches an den Intervallsgrenzen nicht verschwindet, noch dessen erste ebenso beschaffene Ableitung mehr als eine Wurzel haben; auch können beide Functionen in einem solchen Bereiche nicht gleichzeitig Wurzeln haben. 2. Ist \(\operatorname{sign}(q(x))=+1\), so ist der Unterschied zwischen der Anzahl der Wurzeln von \(y(x)\) und \(y'(x)\) in dem Intervall, an dessen Grenzen \(y\) und \(y'\) nicht verschwinden, höchstens gleich 1; er ist gleich Null, wenn \(y\) und \(y'\) an beiden Grenzen gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen besitzen. Die Wurzeln von \(y\) und \(y'\) trennen sich gegenseitig. Eine Reihe von neuen Sätzen folgt, indem man die Gleichung (2) wiederholt nach \(x\) differentiirt und auf die für die \(\lambda\)-ten Ableitungen geltenden Differentialgleichungen zweiter Ordnung die Relationen (3) anwendet. Endlich wird noch für die Functionen \(y\), \(z\) die den Differentialgleichungen genügen: \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,\quad z'' + p(x)z' + q_1(x)z = 0, \] die Relation gegeben \[ \begin{multlined} \underset{x_1}{\overset{x_2}{\mathfrak A}}u(x) = \operatorname{sign}q(x_1) - q_1(x)\left\{\underset{x_1}{\overset{x_2}{\mathfrak A}}(y(x)) - \underset{x_1}{\overset{x_2}{\mathfrak A}}(z(x))\right.\\ - \left.\frac12\operatorname{sign}\frac d{dx_1}l\frac{z(x_1)}{y(x_1)} + \frac12\operatorname{sign}\frac d{dx_2}l\frac{z(x_2)}{y(x_2)}\right\},\end{multlined} \] wo \(u=yz'-zy'\) gesetzt ist. Von den vorstehenden Sätzen werden Anwendungen auf specielle Functionen gemacht, so auf die Bessel'schen und auf die Näherungsnenner der Kettenbruchentwickelung des Integrals \[ \int_a^b \frac{f(z)dz}{x-z}. \]