Ueber simultane gewöhnliche Differentialgleichungen, welche continuirliche Transformationsgruppen gestatten. (Q1513773)

Der Verf. entwickelt in \S\ 1 die Lie'schen Regeln zur Erweiterung einer infinitesimalen Transformation in \(x_0\), \(x_1\), ..., \(x_n\), wenn alle \(x\) als Functionen einer Grösse \(t\) oder \(x_1\), ..., \(x_n\) als Functionen von \(x_0\) betrachtet werden. In \S\ 2 giebt er die Lie'schen Kriterien dafür, dass ein vorgelegtes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen beliebig hoher Ordnung in den \(x\) eine gegebene infinitesimale Transformation gestattet. \S\ 3 behandelt die Bestimmung der bei einer gegebenen Gruppe invarianten Systeme von Differentialgleichungen. Der Verf. unterscheidet dabei ganz zweckmässig allgemeine Systeme, die den Rang der Matrix der erweiterten Gruppen nicht erniedrigen, und die deshalb durch Relationen zwischen Differentialinvarianten darstellbar sind, ferner halb singuläre Systeme, die zwar den Rang der Matrix erniedrigen, aber doch ausser gewissen, durch Determinantenbildung zu findenden Gleichungen noch Relationen zwischen Differentialinvarianten enthalten, endlich singuläre Systeme, die durch Determinantenbildung allein entstehen. \S\ 4 untersucht die Gliederzahl des vollständigen Systems, das zur Bestimmung der Differentialinvarianten eine \(r\)-gliedrigen Gruppe dient, und stellt fest, wie weit man die Erweiterung höchstens zu treiben hat, damit die Gliederzahl gleich \(r\) werde. \S\ 5 bespricht die Vereinfachungen, die bei Berechnung der Differentialinvarianten eingliedriger Gruppen eintreten, \S\ 6 die entsprechenden Sätze für eine \(r\)-gliedrige Gruppe und die Berechnung der invarianten Systeme von Differentialgleichungen. In \S\ 7 macht der Verf. einige allgemeine Bemerkungen über die Verwertung kanonischer Formen der \(r\)-gliedrigen Gruppen für Integrationsprobleme, bestimmt dann kanonische Formen für alle Typen von zweigliedrigen Gruppen in beliebig vielen Veränderlichen und wendet das in \S\ 8 auf die Integration von solchen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen des \(R_3\) an, die eine zweigliedrige Gruppe mit bekannten infinitesimalen Transformationen gestatten. \S\ 9 enthält die Bestimmung aller dreigliedrigen Gruppen in beliebig vielen Veränderlichen und \S\ 10 wieder die Anwendung auf Differentialgleichungen des \(R_3\). In \S\ 11 werden die viergliedrigen Gruppen des \(R_3\) betrachtet, die eine dreigliedrige invariante Untergruppe von vertauschbaren Transformationen enthalten, und ihre Reduction auf kanonische Formen wird discutirt. In \S\ 12 entwickelt der Verf. einige notwendige Bedingungen dafür, dass ein System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung des \(R_3\) durch Punkttransformation die Gestalt \(y''=0\), \(z''=0\) erhalten kann; er knüpft dabei an die Helmholtz'sche Methode zur Bestimmung der kürzesten Linien im Farbensystem an. Beigefügt sind drei Tafeln für die Differentialinvarianten gewisser eingliedriger und aller Typen von zwei und dreigliedrigen Gruppen des \(R_3\).