Su di una classe di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine. (Q1513819)

Im Anschlusse an die Picard'sche Abhandlung (Acta Math. 12, 323-338; F. d. M. 21, 348-349, 1889, JFM 21.0348.01) über den analytischen Charakter der Lösungen der Differentialgleichung \[ a\frac{\partial^2V}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2V}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2V}{\partial y^2} + d\frac{\partial V}{\partial x} + e\frac{\partial V}{\partial y} + fV = 0 \] wird hier die allgemeinere Differentialgleichung \[ a\frac{\partial^2V}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2V}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^2V}{\partial y^2} + d\frac{\partial V}{\partial x} + e\frac{\partial V}{\partial y} + fV + h = 0 \] behandelt. Zunächst wird gezeigt, dass diese Gleichung sich reduciren lässt auf \(\varDelta^2V+f(x,y)V+h(x,y) = 0\). Unter der Annahme, dass \(f(x,y)\) im betrachteten Bereiche stets positiv ist, und dass \(k\) ein beliebiger Parameter ist, wird nun erst gezeigt, dass für die Gleichung \(\varDelta^2V+k\cdot f\cdot V+h = 0\) eine Function \(V\) der Punkte des Bereichs und der complexen Variable \(k\) existirt, die eine endliche oder unendliche Reihe einfacher Pole mit bestimmt angegebenen Residuen als singuläre Stellen besitzt, im übrigen in dem betreffenden Bereiche endlich und stetig ist und für eine gegebene Wertfolge auf dem Umfange des Bereichs die Lösung obiger Gleichung darstellt und unter bestimmten Bedingungen auch die einzige derartige Lösung bildet. Es wird schliesslich die Untersuchung auch ausgedehnt auf Bereiche, in denen \(f\) nicht constantes Zeichen besitzt.