Funzioni armoniche e trasformazioni di contatto. (Q1513839)

Der Verf. betrachtet eine Berührungstransformation der Ebene, also eine Transformation in \(x,y,p\), bei der die Pfaff'sche Gleichung \(dy-pdx=0\) invariant bleibt, und setzt \(x=x_1+ix_2\), \(y=y_1+iy_2\), \(p=p_1-ip_2\); dadurch erhält er in den sechs Veränderlichen \(x_1,x_2,\dots,p_2\) eine Transformation, die das Pfaff'sche System: \[ dy_1 - p_1dx_1 - p_2dx_2 = 0,\quad dy_2 + p_2dx_1 - p_1dx_2 = 0\tag{1} \] invariant lässt, und bemerkt, dass diese Transformation jedem Paare associirter harmonischer Functionen \(y_1,y_2\) der Veränderlichen \(x_1,x_2\) ein eben solches Paar von Functionen zuordnet. Er betrachtet nun umgekehrt eine Transformation \(x_1'=X_1\), ..., \(p_2'=P_2\) in den Veränderlichen \(x_1,\dots,p_2\), die das System (1) invariant lässt, setzt \[ X = X_1 + iX_2,\quad Y = Y_1 + iY_2,\quad P = P_1 - iP_2, \] behauptet, was aber doch wohl eines Beweises bedurft hätte, dass dann eine Relation von der Form: \[ dY - PdX = \varrho(dy - pdx) \] besteht, und beweist unter dieser Voraussetzung, dass \(X\), \(Y\), \(P\) nur die drei Argumente \(x_1+ix_2\), \(y_1+iy_2\), \(p_1-ip_2\) enthalten.