Elementvereine und Streifenelemente im \(R_n+1\). (Q1513840)

Einen Verein von \(\infty^1\) Elementen erster Ordnung \[ z,x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n \] des \(R_{n+1}\) nennt Lie einen Elementstreifen. Den Inbegriff zweier unendlich benachbarten Elemente eines solchen Streifens oder allgemeiner den Inbegriff zweier unendlich benachbarten Elemente \(z\), \(x\) \(p\) und \(z+dz\), \(x+dx\), \(p+dp\), die vereinigt liegen, die also die Gleichung \(dz-\sum p_idx_i=0\) erfüllen, nennt der Verf. dem entsprechend ein Streifenelement. Die explicite Einführung dieses Begriffs und dieser Benennung erleichtert die Darstellung der Lie'schen Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung nicht unwesentlich. Zwei von demselben Elemente \(z\), \(x\) \(p\) ausgehende Streifenelemente \(z\), \(x\) \(p\), \(dz\), \(dx\), \(dp\) und \(z\), \(x\) \(p\), \(\delta z\), \(\delta x\), \(\delta p\) nennt der Verf. conjugirt, wenn sie die Gleichung: \(\sum(dx_i\delta p_i - dp_i\delta x_i)=0\) erfüllen. Diese gegenüber allen Berührungstransformationen invariante Beziehung ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die beiden Streifenelemente einem zweifach ausgedehnten Vereine von Elementen angehören. Einen ebenen Bündel von Streifenelementen durch das Element \(z\), \(x\) \(p\) nennt der Verf. einen Nullbündel, wenn je zwei Streifenelemente des Bündels conjugirt sind. Soll ein ebener Bündel von \(\infty^{m-1}\) Streifenelementen durch \(z\), \(x\) \(p\) einem \(m\)-fach ausgedehnten Verein von Elementen angehören, so ist notwendig und hinreichend, dass er ein Nullbündel ist. Zu jedem ebenen Bündel von \(\infty^{m-1}\) Streifenelementen durch \(z\), \(x\) \(p\) gehört ein conjugirter Bündel von \(\infty^{2n-m-1}\) Streifenelementen, die zu allen Streifenelementen des ersten Bündels conjugirt sind. Aus diesen Begriffen ergiebt sich mit grosser Leichtigkeit, dass ein Verein von Elementen nicht mehr als \(\infty^n\) Elemente enthalten kann, und dass die Gleichungen eines Vereins von \(\infty^n\) Elementen die von Lie angegebenen charakteristischen Eigenschaften besitzen. Ferner gelangt man mit der grössten Leichtigkeit zu Lie's Formulirung der Cauchy'schen Integrationsmethode. Endlich kann die vom Referenten (Leipz. Ber. 1893) gegebene Darstellung der Elemente zweiter Ordnung des \(R_3\) für den \(R_{n+1}\) kurz so ausgesprochen werden: Die Elemente zweiter Ordnung des \(R_{n+1}\) werden durch die Nullbündel von je \(\infty^{n-1}\) Streifenelementen dargestellt.