On some point in the calculus of variations. (Q1513848)

Die meisten statischen oder dynamischen Probleme, welche sich auf continuirliche Mittel beziehen, lassen sich mit Hülfe des Principes der virtuellen Geschwindigkeiten, des d'Alembert'schen oder des Hamilton'schen Principes auf eine Aufgabe der folgenden Art zurückführen: Es sollen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt werden, dass die Variation einer gewissen Function oder eines gewissen Integrales stets Null wird, wenn die dem System auferlegten Variationen die erste Variation gewisser anderer Functionen oder gewisser anderer Integrale zum Verschwinden bringen. Um diese Aufgabe auf eine andere derselben Art, in welcher aber die dem System auferlegten Variationen keiner Bedingung unterworfen sind, zu reduciren, führt man bekanntlich constante oder veränderliche Hülfsunbekannte ein, deren Existenz man a priori zugiebt, und zeigt dann, dass man für die analytische Formulirung der Aufgabe die nötige Anzahl von Bedingungsgleichungen erhält, um diese Hülfsunbekannten zu bestimmen. Die Schlussfolge, auf welcher diese fortwährend und ohne Bedenken angewandte Methode beruht, scheint jedoch im allgemeinen nicht die von der heutigen Mathematik geforderte Strenge zu besitzen. Nur wenn verlangt wird, dass die Variationen, welche die erste Variation eines gewissen Integrals zu Null machen, auch die erste Variation eines zweiten Integrales zum Verschwinden bringen sollen, ist die Annahme der Existenz der unbestimmten Hülfsgrössen, welche man zur Lösung der Aufgabe benutzt, durch ein ebenso strenges als elegantes Schlussverfahren gerechtfertigt. Dieses Schlussverfahren wird nun in der vorliegenden Abhandlung so erweitert, dass es für den dreidimensionalen Raum auf das ganz allgemeine Problem anwendbar ist und die Annahme der Existenz der in die Lösung eingeführten Hülfsgrössen völlig streng gerechtfertigt wird.