On bounded integrable functions. (Q1513867)

Wenn die Function \(f(x)\) in dem Intervall \((0\dots 2\pi)\), die Grenzen eingeschlossen, integrabel ist und ihre Werte in endlichen Schranken liegen, so kann die zugehörige Fourier'sche Reihe divergent sein. Bezeichnet man aber die Summe ihrer ersten \(n\) Glieder mit \(s_{n-1}\), so existirt \[ \lim_{n=\infty} \frac{s_0+s_1+\cdots+s_{n-1}}n \] für alle diejenigen Punkte \(x\), in deren Nähe \(f(x)\) links und rechts stetig ist, wobei aber \(f(x+0)\) nicht gleich \(f(x-0)\) zu sein braucht, und der Grenzwert ist gleich \(\frac12[f(x+0) + f(x-0)]\). Hieraus folgt, dass eine Function der betrachteten Art sich in eine Reihe \[ \sum f_n(x)\qquad (n = 1,2,\dots,\infty) \] entwickeln lässt, deren allgemeines Glied eine endliche Fourier'sche Reihe ist; diese Reihe convergirt gleichmässig im Innern eines jeden Intervalles, in dem \(f(x)\) unbedingt stetig (also \(f(x+0)=f(x-0)\)) ist. Man vergleiche hierzu eine Note von Picard, über die in F. d. M. 23, 412, 1891 (siehe JFM 23.0412.01), berichtet worden ist.