On the singularities of analytic functions and, in particular, of functions defined by differential equations. (Q1513891)

Ist \(x=0\) eine isolirte kritische Stelle der analytischen Function \(y(x)\), dann nähert sich \(y(x)\) entweder einem bestimmten endlichen oder unendlich grossen Werte, falls \(x\) auf beliebigem Wege zu \(x=0\) übergeführt wird, oder es ist \(y(x)\) unbestimmt. Diese Unbestimmtheit kann aber verschiedener Art sein und zwar entspricht, wie Verf. zeigt, jedem singulären Punkte einer analytischen Function \(y(x)\), für welchen der Functionswert nicht bestimmt ist, ein gewisses Gebiet der Unbestimmtheit von \(y\). Umfasst das Gebiet die ganze Ebene der \(y\), so nennt Verf. den Punkt \(x=a\) eine Stelle vollständiger Unbestimmtheit; wenn das Gebiet aber nur einen Teil jener Ebene umfasst, so heisst \(x=a\) ein Punkt ``unvollständiger Unbestimmtheit''. Beispiel: \(y=(\lg x)^i\); das Gebiet der Unbestimmtheit besteht in diesem Falle in der \(y\)-Ebene aus einem Kreisringe, dessen Begrenzung die beiden mit den Radien \(e^{\frac{\pi}2}\) und \(e^{\frac{3\pi}2}\) um den Coordinatenanfang beschriebenen Kreise bilden. Auf Grund dieser Definitionen ist Verf. zu drei bemerkenswerten Sätzen über algebraische Differentialgleichungen der ersten drei Ordnungen gelangt, die er ohne Beweis mitteilt, und die sich auf die Natur der Singularitäten der Integrale solcher Differentialgleichungen beziehen.