Some new theorems on harmonic functions of three variables. (Q1513900)

Angeregt durch Appell's Abhandlung über die Functionen dreier reellen Variablen \(F(x, y, z)\), welche der Laplace'schen Differentialgleichung \(\varDelta F=0\) genügen, sogenannte ``harmonische'' Functionen, [Acta Math. 4, 313-374; F. d. M. 16, 373, 1884, JFM 16.0373.01], leitet Verf. vorliegender Arbeit zunächst für diese Functionen einen Satz her, welcher eine Erweiterung des Cauchy'schen Satzes \(f(t) = \frac1{2\pi i}\int\limits_C \frac{f(z)}{z-i}dz\) über Functionen einer complexen Variable darstellt. Alsdann zeigt er, dass man die Mittag-Leffler'schen Untersuchungen über Functionen einer complexen Veränderlichen ebenfalls auf jene harmonischen Functionen ausdehnen kann. Diese Ausdehnung des Mittag-Leffler'schen Satzes wird darauf benutzt, um in einer Weise, die von der Appell's verschieden und allgemeiner ist, die Existenz einer eindeutigen harmonischen Function zu erweisen, welche in allen Raumpunkten regulär ist mit Ausnahme der Ecken eines Netzes von Parallelepipeden, in denen sie Pole erster Ordnung mit dem Residuum \(+1\) besitzt; zugleich wird die Function wirklich gebildet. Diese Function spielt, was schon Appell bemerkt, in der Theorie der Functionen \(F(x, y, z)\) eine ähnliche Rolle wie die Weierstrass'sche Function \(\zeta(z)\) in der Theorie der elliptischen Functionen.