Beweis des Lindemann'schen Satzes über die Exponential-Function. (Q1513920)

Dieser arithmetisch-algebraische Beweis beruht auf den Eigenschaften der ganzen rationalen Zahl \(F(\alpha,\beta, \gamma,\dots)=\) \[ \sum(-1)^{h+i+k+\cdots} \binom ph \binom pi \binom pk\cdots \frac{[(\nu+1)p - h - i - k -\cdots- 1]!}{(p-1)!} \alpha^h \beta^i \gamma^k\cdots \] \[ (h,i,k,\dots = 0,1,\dots,p), \] wo die \(\nu\) Zahlen \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), ... conjugirte ganze algebraische Zahlen \(\nu\)-ter Ordnung sind und \(p\) eine hinreichend grosse Primzahl ist. Dem Lindemann'schen Satze kann man, wie der Verf. zum Schluss hervorhebt, die besondere Fassung geben: ``Die Summe \(\sum_x e^x\), bezogen auf alle Wurzeln \(x\) einer ganzzahligen Gleichung: \(c_0x^n + c_1x^{n-1} +\cdots+ c_n = 0\), jede in ihrer richtigen Vielfachheit genommen, ist eine charakteristische Invariante der Gleichung, für jede Gleichung von anderem Werte, so dass durch die eine Zahl \(\sum_x e^x\) die sämtlichen Coefficienten der Gleichung bestimmt sind.''