Extrait de quelques lettres de M. Ch. Hermite à M. S. Pincherle. (Q1513939)

In den ersten Briefe (vom 10. Mai 1900) leitet Hermite die Formel ab: \[ \begin{split} \log\Gamma(a+x) - \log\Gamma(a) &= x\log a + \frac{x(x-1)}{1\cdot2} \varDelta\log a +\cdots\\ &+ \frac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{1\cdot2\cdots n} \varDelta^{n-1}\log a +\cdots,\end{split} \] welche für alle positiven Werte von \(a\) gilt und für alle positiven Werte von \(x\) convergirt. Als speciellen Fall liefert sie: \[ \begin{multlined} \log\Gamma(1+x) = \frac{x(x-1)}{1\cdot2}\log2 + \frac{x(x-1)(x-2)}{1\cdot2\cdot3}(\log3-2\log2)\\ + \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}(\log4-3\log3+3\log2) +\cdots,\end{multlined} \] welcher Ausdruck für \(\log\Gamma(1+x)\) einen völlig anderen Charakter hat, als der durch die bekannte Formel \[ \log\Gamma(1+x) = -Cx + \frac{S_2x^2}2 - \frac{S_3x^3}3 +\cdots \] \[ \left(S_n = 1 + \frac1{2^n} + \frac1{3^n} +\cdots\right) \] gegebene Ausdruck. Aber nicht nur für \(\log\Gamma(1+x)\) gilt eine derartige Entwickelung, sondern allgemeiner für jede Function \[ \Phi(x) = \int_{-\infty}^0 [\varphi(y) e^{xy} + x\cdot\varphi_1(y) + \varphi_2(y)] dy \] ist, wie Hermite in den beiden folgenden Briefen (vom 19. Mai und 8. Juni 1900) zeigt, für positive Werte von \(a\) die analoge Reihenentwickelung \[ \Phi(a+x) - \Phi(x) = \frac x1\cdot\varDelta\Phi(a) + \frac{x(x-1)}{1\cdot2}\cdot\varDelta^2\Phi(a) +\cdots, \] gültig und für alle positiven Werte von \(x\) convergent. Als Beispiel betrachtet Hermite das Integral \[ J(x) = \int_{-\infty}^0 e^{xy} \frac{e^y(y-2) + y + 2}{2y^2(e^y-1)}dy \] der Stirling'schen Formel und ermittelt ferner den asymptotischen Wert von \(\Phi(a)\) für sehr grosse Werte von \(a\). In dem vierten Briefe (vom 10. Aug. 1900) wendet Hermite die obige Reihenentwickelung auf die Function \[ R(a,s) = \frac1{a^s} + \frac1{(a+1)^s} + \frac1{(a+2)^s} +\cdots\qquad (|s|>1) \] an und findet: \[ R(a,s) = \frac1{(s-1)a^{s-1}} + \frac1{2a^s} + \frac1{2^{s-1}a^{s-1}}\left[\frac s1J_1 + \frac{s(s-1)}{1\cdot2}J_2 +\cdots\right], \] wo \[ J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin2n\varphi}{\cos^2\varphi(e^{2\pi\cdot a\tan\varphi}-1)}d\varphi \] gesetzt ist. Der letzte Brief (vom 24. Aug. 1900) beschäftigt sich noch näher mit diesen Integralen \(J_n\).