Zur Bestimmung des analytischen Existenzbereiches in der Theorie der elliptischen Functionen. (Q1513957)

Es handelt sich darum, zu beweisen, dass die Function \[ \varphi(\omega) = \prod_{\mu=1}^\infty (1 - e^{2\mu\omega\pi i}) \] der complexen Veränderlichen \(\omega = x+iy\) nur in der oberen Halbebene existirt, in der \(y\) positiv ist, dass also \(\varphi(\omega)\) nicht über die reelle Axe in die untere Halbebene fortgesetzt werden kann. Zu diesem Zwecke wird die Function \[ \psi(\omega) = -\sum_{\nu=1}^\infty \frac1{\nu^2\pi} \log(1 - e^{2\nu\omega\pi i}) \] betrachtet, die mit \(\varphi(\omega)\) durch die Gleichung \[ \frac{d\psi(\omega)}{d\omega} = -2i\log\varphi(\omega) \] zusammenhängt und daher denselben Existenzbereich wie \(\varphi(\omega)\) besitzt. Der rein imaginäre Bestandteil von \(\psi(\omega)\) ist gleich \[ \sum_{\nu=1}^\infty \frac1{\nu^2\pi}\arctan \frac{e^{-2\nu y\pi} \sin2\nu x\pi}{1 - e^{-2\nu y\pi} \cos2\nu x\pi}. \] Dieser Ausdruck behält auch für \(y=0\) einen Sinn, wenn \(x\) irrational ist. Er convergirt alsdann gegen \[ f(x) = \sum_{\nu=1}^\infty \frac1{\nu^2\pi}\arctan \frac{\sin2\nu x\pi}{1 - \cos2\nu x\pi} = \sum_{\nu=1}^\infty \frac{\frac12-R(\nu x)}{\nu^2}, \] wenn \(R(\nu x)\) den kleinsten positiven Rest von \(\nu x\) bedeutet. Würde sich nun der Existenzbereich von \(\psi(\omega)\) über die reelle Axe hinaus in die untere Halbebene erstrecken, so müsste der rein imaginäre Bestandteil von \(\psi(\omega)\) wenigstens auf einem endlichen Stücke der reellen Axe eine stetige Function von \(x\) sein. Da er aber für alle irrationalen Werte von \(x\) mit \(f(x)\) übereinstimmt, so müsste er für rationale Werte von \(x\) gleich \(\lim\limits_{h=0} f(x+h)\) sein, wo \(h\) irrational ist. Nun findet man aber, wenn \(p\) und \(q\) zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler bedeuten, dass \[ f\left(\frac pq+0\right) - f\left(\frac pq-0\right) = \frac16\frac{\pi^2}{q^2} \] wird, so dass die Annahme der Fortsetzbarkeit von \(\psi(\omega)\) über die reelle Axe hinaus auf einen Widerspruch führt. Zum Schluss bemerkt Lerch, ihm sei erst während des Druckes bekannt geworden, dass seine Ausführungen implicite bereits in Riemann's Fragmenten über die Grenzfälle der elliptischen Modulfunctionen (Werke, 2. Aufl. S. 453) enthalten seien.