Eine Verallgemeinerung des Additionstheorems der Bessel'schen Functionen erster Art. (Q1513991)

Die Verfasserin beweist hier folgende ihr von Herrn Gegenbauer mitgeteilte Verallgemeinerung des Additionstheorems der Bessel'schen Functionen. Es ist \[ \begin{aligned} (\alpha^2 + \beta^2 &- 2\alpha\beta\cos\varphi)^{-\frac12(\nu+\varrho)} \sin^{2\varrho} \varphi J^{\nu+\varrho}(\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta\cos\varphi})\\ &= \frac{\sqrt{\pi}(2\nu-1)\Pi(2\nu-1)\Pi(\nu+\varrho-1)(\alpha\beta)^{-(\nu+\varrho)}}{2^{-\varrho+\nu-1}\Pi(\nu-1)\Pi(\frac{2\nu-3}2)(2\varrho+2\nu+1)^2}\\ &\times \left(\frac{\Pi(2\nu-1)}{\Pi(\frac{2\nu-1}2)}\right)^2\cdot \sum_{n=0}^\infty (n+\nu) \sum_{\sigma=0}^{\sigma=\varrho}(-1)^{n+\varrho-2\sigma}(n+\varrho-2\sigma)\varDelta_{n,\nu,\varrho}^\sigma\\ &\times J^{n+\nu+\varrho-2\sigma}(\alpha) J^{n+\nu+\varrho-2\sigma}(\beta)C_n^\nu(\cos\varphi).\end{aligned} \] Dann hat \(C_n^\nu(\cos\varphi)\) dieselbe Bedeutung wie im vorhergehenden Referat, \(\varDelta_{n,\nu,\varrho}^\sigma\) bezeichnet einen gewissen, von \(n\), \(\nu\), \(\varrho\), \(\sigma\) in ziemlich complicirter Weise abhängigen Zahlenfactor, der sich in Determinantenform darstellen lässt. Der Beweis stützt sich auf verschiedene von Gegenbauer früher abgeleitete Formeln.